1 חשב את הקובע של המטריצה. מטריצה ​​קובעת

תרגיל.חשב את הקובע על ידי פירוקו לאלמנטים של שורה או עמודה כלשהי.

פִּתָרוֹן.תחילה נבצע טרנספורמציות יסודיות בשורות הקובע, וניצור כמה שיותר אפסים בשורה או בעמודה. כדי לעשות זאת, תחילה נחסר תשעה שליש מהשורה הראשונה, חמישה שליש מהשורה השנייה ושלושה שליש מהרביעי, נקבל:

הבה נפרק את הקובע המתקבל למרכיבים של העמודה הראשונה:

נרחיב גם את הקובע מסדר שלישי המתקבל למרכיבי השורה והעמודה, לאחר שקיבלנו בעבר אפסים, למשל, בעמודה הראשונה. כדי לעשות זאת, החסר את שתי השורות השניות מהשורה הראשונה, ואת השורה השנייה מהשורה השלישית:

תשובה.

12. הורד מסדר 3

1. כלל משולש

באופן סכמטי, ניתן לתאר כלל זה באופן הבא:

המכפלה של אלמנטים בקובע הראשון המחוברים בקווים ישרים נלקחת עם סימן פלוס; באופן דומה, עבור הקובע השני, המוצרים המתאימים נלקחים עם סימן מינוס, כלומר.

2. שלטון סרוס

מימין לקובע, הוסיפו את שתי העמודות הראשונות וקחו את התוצרים של אלמנטים באלכסון הראשי ובאלכסונים המקבילים לו עם סימן פלוס; והתוצרים של יסודות האלכסון המשני והאלכסונים המקבילים לו, עם סימן מינוס:

3. הרחבת הקובע בשורה או בעמודה

הקובע שווה לסכום המכפלות של האלמנטים של שורת הקובע ושל ההשלמות האלגבריות שלהם. בדרך כלל השורה/עמודה המכילה אפסים נבחרה. השורה או העמודה שלאורכן מתבצע הפירוק יצוינו בחץ.

תרגיל.מתרחבים לאורך השורה הראשונה, חשב את הקובע

פִּתָרוֹן.

תשובה.

4. הפחתת הקובע לצורה משולשת

באמצעות טרנספורמציות יסודיות על פני שורות או עמודות, הדטרמיננט מצטמצם לצורת משולש ואז ערכו, לפי תכונות הקובע, שווה למכפלת האלמנטים באלכסון הראשי.

דוגמא

תרגיל.חישוב קובע מביאים אותו לצורה משולשת.

פִּתָרוֹן.ראשית אנו יוצרים אפסים בעמודה הראשונה מתחת לאלכסון הראשי. כל הטרנספורמציות יהיו קלות יותר לביצוע אם האלמנט שווה ל-1. לשם כך, נחליף את העמודה הראשונה והשנייה של הקובע, מה שלפי תכונות הקובע יגרום לו לשנות את הסימן שלו ל- מול:

חישוב של דטרמיננטים נהסדר ה-:

מושג הקובע נהסדר -

באמצעות מאמר זה על דטרמיננטים, אתה בהחלט תלמד כיצד לפתור בעיות כמו הבאות:

פתור את המשוואה:

ועוד רבים אחרים שמורים אוהבים להמציא.

הקובע של מטריצה, או פשוט הקובע, ממלא תפקיד חשוב בפתרון מערכות של משוואות ליניאריות. באופן כללי, למטרה זו המציאו דטרמיננטים. מכיוון שלעתים קרובות אומרים גם "קובע מטריצה", נזכיר כאן גם מטריצות. מַטרִיצָההיא טבלה מלבנית המורכבת ממספרים שאינם ניתנים להחלפה. מטריצה ​​מרובעת היא טבלה שבה מספר השורות והעמודות זהים. רק למטריצה ​​מרובעת יכולה להיות דטרמיננט.

קל להבין את ההיגיון של כתיבת דטרמיננטים באמצעות הסכימה הבאה. בואו ניקח מערכת של שתי משוואות עם שני לא ידועים, המוכרים לכם מבית הספר:

בדטרמיננטה, המקדמים של הלא ידועים נכתבים ברצף: בשורה הראשונה - מהמשוואה הראשונה, בשורה השנייה - מהמשוואה השנייה:

לדוגמה, אם ניתנת מערכת משוואות

אז נוצר הקובע הבא מהמקדמים של הלא ידועים:

אז תן לנו טבלה מרובעת המורכבת ממספרים המסודרים ב נקווים (שורות אופקיות) ובפנים נעמודות (שורות אנכיות). באמצעות המספרים הללו, לפי כמה כללים שנלמד להלן, הם מוצאים את המספר, שנקרא קוֹצֵב נהסדר ומסומן כדלקמן:

(1)

המספרים נקראים אלמנטיםקובע (1) (המדד הראשון פירושו מספר השורה, השני - מספר העמודה שבצומתו עומד האלמנט; אני = 1, 2, ..., n; י= 1, 2, ..., n). סדר הקובע הוא מספר השורות והעמודות שלו.

קו ישר דמיוני המחבר בין אלמנטים של הקובע ששני המדדים זהים, כלומר. אלמנטים

שקוראים לו אלכסון ראשי, אלכסון נוסף - צַד.

חישוב גורמים מסדר שני ושלישי

הבה נראה כיצד מחושבים הקובעים של שלושת הסדרים הראשונים.

הקובע מסדר ראשון הוא האלמנט עצמו, כלומר.

הקובע מסדר שני הוא המספר המתקבל באופן הבא:

, (2)

התוצר של אלמנטים הממוקמים באלכסון הראשי והמשני, בהתאמה.

שוויון (2) מראה שהמכפלה של יסודות האלכסון הראשי נלקחת עם סימן משלו, והמכפלה של יסודות האלכסון המשני עם הסימן הנגדי. .

דוגמה 1.חשב קובעים מסדר שני:

פִּתָרוֹן. בעזרת נוסחה (2) אנו מוצאים:

דטרמיננט מסדר שלישי הוא מספר המתקבל באופן הבא:

(3)

קשה לזכור את הנוסחה הזו. עם זאת, יש כלל פשוט שנקרא כלל משולש , מה שמקל על שחזור ביטוי (3). מציינים את האלמנטים של הקובע בנקודות, אנו מחברים עם קטעי קו ישר את אלה מהם שנותנים את המכפלה של יסודות הקובע (איור 1).

נוסחה (3) מראה שהתוצרים של יסודות האלכסון הראשי, וכן היסודות הממוקמים בקודקודים של שני משולשים שבסיסיהם מקבילים לו, נלקחים עם הסימנים שלהם; עם מנוגדים - מכפלת האלמנטים של אלכסון הצלע, כמו גם האלמנטים הממוקמים בקודקודים של שני משולשים המקבילים לו .

באיור 1, האלכסון הראשי והבסיסים התואמים של המשולשים והאלכסון המשני והבסיסים התואמים של המשולשים מודגשים באדום.

בחישוב הקובעים, חשוב מאוד, כמו בתיכון, לזכור שמספר עם סימן מינוס כפול מספר עם סימן מינוס מביא למספר עם סימן פלוס, ומספר עם סימן פלוס כפול א. מספר עם סימן מינוס מביא למספר עם סימן מינוס.

דוגמה 2.חשב את הקובע מסדר שלישי:

פִּתָרוֹן. באמצעות כלל המשולש, אנו מקבלים

חישוב של דטרמיננטים נהסדר -

הרחבת הקובע לפי שורה או עמודה

כדי לחשב את הקובע נהסדר, עליך לדעת ולהשתמש במשפט הבא.

משפט לפלס.הקובע שווה לסכום המכפלות של האלמנטים של כל שורה ושל ההשלמות האלגבריות שלהם, כלומר.

הַגדָרָה. אם בקובע נסדר - בחר באופן שרירותי עקווים ו עעמודות ( ע < נ), ואז האלמנטים הממוקמים בצומת של שורות ועמודות אלו יוצרים מטריצת סדר.

הקובע של מטריצה ​​זו נקרא קַטִין הקובע המקורי. לדוגמה, שקול את הקובע:

בואו נבנה מטריצה ​​משורות ועמודות עם מספרים זוגיים:

קוֹצֵב

שקוראים לו קַטִיןקוֹצֵב קיבלנו קטין מהסדר השני. ברור כי מכאן נוכל לבנות קטינים שונים מהסדר הראשון, השני והשלישי.

אם ניקח אלמנט ונחצה את השורה והעמודה בדטרמיננטה שבצומתו הוא ניצב, נקבל מינור שנקרא אלמנט מינור, אותו נסמן ב:

.

אם הקטין מוכפל ב- , כאשר 3 + 2 הוא סכום מספרי השורות והעמודות שבצומתם יש אלמנט, אז המכפלה המתקבלת נקראת משלים אלגבריאלמנט ומסומן על ידי

באופן כללי, נסמן את המינור של אלמנט, ואת המשלים האלגברי,

(4)

לדוגמה, הבה נחשב את ההשלמות האלגבריות של האלמנטים והדטרמיננטה מסדר שלישי:

באמצעות נוסחה (4) נקבל

בעת פירוק דטרמיננט, נעשה שימוש לעתים קרובות בתכונה הבאה של הקובע נהסדר ה-:

אם תוסיף לאלמנטים של שורה או עמודה את המכפלה של הרכיבים התואמים של שורה או עמודה אחרת לפי גורם קבוע, אז הערך של הקובע לא ישתנה.

דוגמה 4.

ראשית, נחסר את האלמנטים של השורה הרביעית מהשורה הראשונה והשלישית, ואז יהיה לנו

העמודה הרביעית של הקובע המתקבל מכילה שלושה אלמנטים - אפסים. לכן, כדאי יותר להרחיב את הקובע הזה למרכיבי העמודה הרביעית, מכיוון ששלושת המוצרים הראשונים יהיו אפסים. בגלל זה

אתה יכול לבדוק את הפתרון באמצעות מחשבון קובע מקוון .

והדוגמה הבאה מראה כיצד ניתן לצמצם את החישוב של דטרמיננט מסדר כלשהו (במקרה זה, רביעי) לחישוב של דטרמיננט מסדר שני.

דוגמה 5.חשב את הקובע:

הבה נחסר את מרכיבי השורה הראשונה מהשורה השלישית, ונוסיף את מרכיבי השורה הראשונה למרכיבי השורה הרביעית, ואז יהיה לנו

בעמודה הראשונה, כל האלמנטים מלבד הראשון הם אפסים. כלומר, כבר ניתן להרחיב את הקובע על פני העמודה הראשונה. אבל אנחנו באמת לא רוצים לחשב את הקובע מהסדר השלישי. לכן, נעשה עוד כמה טרנספורמציות: למרכיבי השורה השלישית נוסיף את מרכיבי השורה השנייה, כפול 2, וממרכיבי השורה הרביעית נחסר את מרכיבי השורה השנייה. כתוצאה מכך, ניתן להרחיב את הקובע, שהוא משלים אלגברי, בעצמו לאורך העמודה הראשונה ונצטרך רק לחשב את הקובע מסדר שני ולא להתבלבל בסימנים:

הפחתת הקובע לצורה משולשת

דטרמיננטה שבה כל האלמנטים השוכנים בצד אחד של אחד האלכסונים שווים לאפס נקרא משולש. על ידי היפוך סדר השורות או העמודות, המקרה של אלכסון משני מצטמצם למקרה של האלכסון הראשי. קביעה זו שווה למכפלת האלמנטים של האלכסון הראשי.

כדי לצמצם לצורה משולשת, משתמשים באותה תכונה של הקובע נסדר -ה, אותו יישם בפסקה הקודמת: אם מכפלת האלמנטים התואמים של שורה או עמודה אחרת על ידי גורם קבוע מתווסף לאלמנטים של שורה או עמודה, אז הערך של הקובע לא ישתנה.

אתה יכול לבדוק את הפתרון באמצעות מחשבון קובע מקוון .

תכונות הקובע נהסדר -

בשתי הפסקאות הקודמות כבר השתמשנו באחת התכונות של הקובע נהסדר -. במקרים מסוימים, כדי לפשט את חישוב הקובע, ניתן להשתמש במאפיינים חשובים אחרים של הקובע. לדוגמה, אפשר לצמצם דטרמיננט לסכום של שני דטרמיננטים, שאחד מהם או שניהם ניתנים להרחבה בנוחות בשורה או בעמודה כלשהי. יש המון מקרים של פישוט כזה, ויש להכריע בנפרד בשאלת השימוש בנכס זה או אחר של הקובע.

מטריצה ​​קובעת

מציאת הקובע של מטריצה ​​היא בעיה נפוצה מאוד במתמטיקה ובאלגברה גבוהים יותר. ככלל, לא ניתן להסתדר בלי הערך של הקובע המטריצה ​​כאשר פותרים מערכות מורכבות של משוואות. שיטת Cramer לפתרון מערכות משוואות מבוססת על חישוב הקובע של מטריצה. באמצעות ההגדרה של דטרמיננט, נקבעת נוכחותו וייחודו של פתרון למערכת משוואות. לכן, קשה להפריז בחשיבות היכולת למצוא בצורה נכונה ומדויקת את הקובע של מטריצה ​​במתמטיקה. שיטות לפתרון דטרמיננטים הן תיאורטית די פשוטות, אך ככל שגודל המטריצה ​​גדל, החישובים הופכים למסורבלים מאוד ודורשים זהירות רבה וזמן רב. קל מאוד לעשות טעות קלה או שגיאת הקלדה בחישובים מתמטיים כל כך מורכבים, שתוביל לטעות בתשובה הסופית. אז גם אם תמצא קביעת מטריצהבעצמך, חשוב לבדוק את התוצאה. ניתן לעשות זאת באמצעות השירות שלנו מציאת הקובע של מטריצה ​​באינטרנט. השירות שלנו תמיד מייצר תוצאות מדויקות לחלוטין, ללא שגיאות או שגיאות סופר. אתה יכול לסרב לחישובים עצמאיים, כי מנקודת מבט יישומית, מציאת הקובע של המטריצהזה לא חינוכי באופיו, אלא פשוט דורש הרבה זמן וחישובים מספריים. לכן, אם במשימה שלך הגדרה של דטרמיננט מטריצההם עזר, חישובי צד, השתמש בשירות שלנו ו למצוא את הקובע של מטריצה ​​באינטרנט!

כל החישובים מתבצעים באופן אוטומטי בדיוק הגבוה ביותר והם בחינם לחלוטין. יש לנו ממשק נוח מאוד להזנת אלמנטים מטריצות. אבל ההבדל העיקרי בין השירות שלנו לאלו הדומים הוא האפשרות לקבל פתרון מפורט. השירות שלנו ב חישוב הקובע של מטריצה ​​באינטרנטתמיד משתמש בשיטה הפשוטה והקצרה ביותר ומתאר בפירוט כל שלב של טרנספורמציות והפשטות. אז אתה מקבל לא רק את הערך של הקובע של המטריצה, את התוצאה הסופית, אלא גם פתרון מפורט שלם.