פריזמה היא דמות תלת מימדית גיאומטרית, שמאפייניה ותכונותיה נלמדים בבתי ספר תיכוניים. ככלל, כאשר לומדים אותו, נחשבות כמויות כמו נפח ושטח פנים. במאמר זה נדון בשאלה מעט שונה: נציג שיטה לקביעת אורך האלכסונים של פריזמה באמצעות דוגמה של דמות מרובעת.

איזו צורה נקראת פריזמה?

בגיאומטריה ניתנת ההגדרה הבאה של פריזמה: זוהי דמות תלת מימדית התחום על ידי שתי צלעות זהות מצולעות המקבילות זו לזו ומספר מסוים של מקביליות. האיור שלהלן מציג דוגמה למנסרה המתאימה להגדרה זו.

אנו רואים ששני המחומשים האדומים שווים זה לזה ונמצאים בשני מישורים מקבילים. חמש מקביליות ורודות מחברות מחומשים אלה לעצם מוצק - פריזמה. שני המחומשים נקראים בסיסי הדמות, והמקביליות שלה הן פני הצד.

פריזמות יכולות להיות ישרות או אלכסוניות, הנקראות גם מלבניות או אלכסוניות. ההבדל ביניהם טמון בזוויות שבין הבסיס לקצוות הצדדיים. עבור פריזמה מלבנית, כל הזוויות הללו שוות ל-90 o.

בהתבסס על מספר הצלעות או הקודקודים של המצולע בבסיס, הם מדברים על מנסרות משולשות, מחומשות, מרובעיות וכן הלאה. יתר על כן, אם המצולע הזה רגיל, והמנסרה עצמה ישרה, אז דמות כזו נקראת רגילה.

המנסרה המוצגת באיור הקודם היא בעלת נטייה מחומשת. למטה יש פריזמה ימנית מחומשת, שהיא סדירה.

זה נוח לבצע את כל החישובים, כולל השיטה לקביעת האלכסונים של פריזמה, במיוחד עבור הדמויות הנכונות.

אילו אלמנטים מאפיינים פריזמה?

המרכיבים של דמות הם המרכיבים היוצרים אותה. במיוחד עבור פריזמה, ניתן להבחין בין שלושה סוגים עיקריים של אלמנטים:

• עליוניות;
• קצוות או צדדים;
• צלעות

פרצופים נחשבים לבסיסים ולמישורים לרוחב, המייצגים מקביליות במקרה הכללי. במנסרה, כל צד הוא תמיד אחד משני סוגים: או שהוא מצולע או מקבילית.

הקצוות של פריזמה הם אותם קטעים המגבילים כל צד של הדמות. כמו פרצופים, גם הקצוות מגיעים בשני סוגים: אלה השייכים למשטח הבסיס והמשטח הצדדי או אלה השייכים רק למשטח הצד. תמיד יש פי שניים מהראשונים מאשר מהאחרונים, ללא קשר לסוג הפריזמה.

הקודקודים הם נקודות החיתוך של שלושה קצוות של המנסרה, שניים מהם נמצאים במישור הבסיס, והשלישי שייך לשני הפנים הצדדיים. כל קודקודי הפריזמה נמצאים במישורים של בסיסי הדמות.

המספרים של האלמנטים המתוארים מחוברים לשוויון אחד, בעל הצורה הבאה:

P = B + C - 2.

כאן P הוא מספר הקצוות, B - קודקודים, C - צלעות. שוויון זה נקרא משפט אוילר לפוליהדרון.

האיור מציג פריזמה רגילה משולשת. כל אחד יכול לספור שיש לו 6 קודקודים, 5 צלעות ו-9 קצוות. נתונים אלה תואמים את משפט אוילר.

אלכסוני פריזמה

לאחר מאפיינים כמו נפח ושטח פנים, בבעיות גיאומטריה אנו נתקלים לעתים קרובות במידע על אורך אלכסון מסוים של הדמות המדוברת, שניתן או שצריך למצוא אותו באמצעות פרמטרים ידועים אחרים. בואו נבחן אילו אלכסונים יש לפריזמה.

ניתן לחלק את כל האלכסונים לשני סוגים:

1. שוכב במישור הפנים. הם מחברים קודקודים לא סמוכים של מצולע בבסיס פריזמה או מקבילית על פני השטח הרוחביים. ערכם של אורכי אלכסונים כאלה נקבע על סמך ידע על אורכי הקצוות התואמים והזוויות ביניהם. כדי לקבוע את האלכסונים של מקביליות, משתמשים תמיד במאפיינים של משולשים.
2. פריזמות מונחות בתוך הכרך. אלכסונים אלה מחברים בין קודקודים שונים של שני בסיסים. אלכסונים אלה נמצאים לחלוטין בתוך הדמות. האורכים שלהם קצת יותר קשים לחישוב מאשר עבור הסוג הקודם. שיטת החישוב כוללת התחשבות באורך הצלעות והבסיס ובמקביליות. עבור מנסרות ישרות ורגילות החישוב פשוט יחסית שכן הוא מתבצע באמצעות משפט פיתגורס ותכונות של פונקציות טריגונומטריות.

אלכסוני הצדדים של פריזמה ימנית מרובעת

האיור שלמעלה מציג ארבע מנסרות ישרות זהות, והפרמטרים של הקצוות שלהן נתונים. במנסרות אלכסון A, אלכסון B ואלכסון C, הקו האדום המקווקו מציג את האלכסונים של שלושה פנים שונים. מכיוון שהמנסרה היא קו ישר בגובה 5 ס"מ, ובסיסה מיוצג על ידי מלבן עם צלעות של 3 ס"מ ו-2 ס"מ, לא קשה למצוא את האלכסונים המסומנים. לשם כך, עליך להשתמש במשפט פיתגורס.

אורך האלכסון של בסיס המנסרה (אלכסון A) שווה ל:

D A = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3.606 ס"מ.

עבור פני הצד של המנסרה, האלכסון שווה (ראה אלכסון B):

D B = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5.831 ס"מ.

לבסוף, אורכו של אלכסון צד אחר הוא (ראה אלכסון C):

D C = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5.385 ס"מ.

אורך אלכסוני פנימי

כעת נחשב את אורך האלכסון של המנסרה המרובעת, המוצג באיור הקודם (אלכסון D). זה לא כל כך קשה לעשות אם אתה מבחין שזה תחתית של משולש שבו הרגליים יהיו גובה המנסרה (5 ס"מ) והאלכסון D A המוצג באיור בצד שמאל למעלה (אלכסון A). ואז נקבל:

D D = √(D A 2 +5 2) = √(2 2 +3 2 +5 2) = √38 ≈ 6.164 ס"מ.

פריזמה מרובעת רגילה

האלכסון של פריזמה רגילה, שבסיסה הוא ריבוע, מחושב באותו אופן כמו בדוגמה לעיל. הנוסחה המתאימה היא:

D = √(2*a 2 +c 2).

כאשר a ו-c הם אורכי צד הבסיס וקצה הצד, בהתאמה.

שימו לב שבחישובים השתמשנו רק במשפט פיתגורס. כדי לקבוע את אורכי האלכסונים של מנסרות רגילות עם מספר רב של קודקודים (מחומש, משושה וכן הלאה), כבר יש צורך להשתמש בפונקציות טריגונומטריות.

הַגדָרָה.

זהו משושה, שבסיסיו שני ריבועים שווים, ופני הצלעות הם מלבנים שווים

צלע צד- הוא הצד המשותף של שני פרצופים צמודים

גובה פריזמה- זהו קטע מאונך לבסיסי המנסרה

אלכסון פריזמה- קטע המחבר בין שני קודקודים של הבסיסים שאינם שייכים לאותה פנים

מישור אלכסוני- מישור העובר דרך אלכסון המנסרה וקצוותיה הצדדיים

חתך אלכסוני- גבולות ההצטלבות של המנסרה והמישור האלכסוני. החתך האלכסוני של פריזמה מרובעת רגילה הוא מלבן

חתך מאונך (חתך אורתוגונלי)- זהו החתך של פריזמה ומישור המצויר בניצב לקצוות הרוחביים שלה

יסודות של פריזמה מרובעת רגילה

האיור מציג שתי מנסרות מרובעות רגילות, המצוינות באותיות המתאימות:

• הבסיסים ABCD ו-A 1 B 1 C 1 D 1 שווים ומקבילים זה לזה
• פני הצד AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C ו-CC 1 D 1 D, שכל אחד מהם הוא מלבן
• משטח רוחבי - סכום השטחים של כל הפנים הצדדיות של המנסרה
• משטח כולל - סכום השטחים של כל הבסיסים ופני הצד (סכום השטח של משטח הצד והבסיסים)
• צלעות צד AA 1, BB 1, CC 1 ו-DD 1.
• אלכסון B 1 D
• אלכסוני בסיס BD
• חתך אלכסוני BB 1 D 1 D
• חתך מאונך A 2 B 2 C 2 D 2.

תכונות של פריזמה מרובעת רגילה

• הבסיסים הם שני ריבועים שווים
• הבסיסים מקבילים זה לזה
• פני הצד הם מלבנים
• הקצוות הצדדיים שווים זה לזה
• פני הצד מאונכים לבסיסים
• הצלעות הצדדיות מקבילות זו לזו ושוות
• חתך מאונך מאונך לכל הצלעות הצדדיות ומקביל לבסיסים
• זוויות של חתך מאונך - ישר
• החתך האלכסוני של פריזמה מרובעת רגילה הוא מלבן
• מאונך (חתך אורתוגונלי) מקביל לבסיסים

נוסחאות למנסרה מרובעת רגילה

הנחיות לפתרון בעיות

בעת פתרון בעיות בנושא " פריזמה מרובעת רגילה" אומר ש:

פריזמה נכונה- פריזמה שבבסיסה נמצא מצולע רגיל, וקצוות הצד מאונכים למישורי הבסיס. כלומר, פריזמה מרובעת רגילה מכילה בבסיסה כיכר. (ראה תכונות של פריזמה מרובעת רגילה למעלה) הערה. זה חלק משיעור עם בעיות גיאומטריה (סטריאומטריה מקטע - פריזמה). הנה בעיות שקשה לפתור. אם אתה צריך לפתור בעיית גיאומטריה שאינה כאן, כתוב עליה בפורום. לציון פעולת חילוץ השורש הריבועי בפתרון בעיות, נעשה שימוש בסמל√ .

מְשִׁימָה.

בפריזמה מרובעת רגילה, שטח הבסיס הוא 144 ס"מ 2 והגובה הוא 14 ס"מ. מצא את האלכסון של המנסרה ואת שטח הפנים הכולל.

פִּתָרוֹן.
מרובע רגיל הוא ריבוע.
בהתאם לכך, צלע הבסיס תהיה שווה

√144 = 12 ס"מ.
מהמקום שבו האלכסון של הבסיס של פריזמה מלבנית רגילה יהיה שווה ל
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

האלכסון של מנסרה רגילה יוצר משולש ישר זווית עם אלכסון הבסיס וגובה המנסרה. בהתאם לכך, על פי משפט פיתגורס, האלכסון של פריזמה מרובעת רגילה נתונה יהיה שווה ל:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 ס"מ

תשובה: 22 ס"מ

מְשִׁימָה

קבע את המשטח הכולל של פריזמה מרובעת רגילה אם האלכסון שלה הוא 5 ס"מ והאלכסון של פני הצד שלה הוא 4 ס"מ.

פִּתָרוֹן.
מכיוון שהבסיס של פריזמה מרובעת רגילה הוא ריבוע, אנו מוצאים את צלע הבסיס (המסומנת כ-a) באמצעות משפט פיתגורס:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

גובה פני הצד (המסומנים כ-h) אזי יהיה שווה ל:

H 2 + 12.5 = 4 2
h 2 + 12.5 = 16
h 2 = 3.5
h = √3.5

שטח הפנים הכולל יהיה שווה לסכום שטח הפנים לרוחב וכפול משטח הבסיס

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43.75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51.46 ס"מ 2.

תשובה: 25 + 10√7 ≈ 51.46 ס"מ 2.

תיאור המצגת לפי שקופיות בודדות:

1 שקף

תיאור שקופיות:

2 שקופיות

תיאור שקופיות:

הגדרה 1. פולידרון, ששניים מהפנים שלו הם מצולעים בעלי אותו שם השוכנים במישורים מקבילים, וכל שני קצוות שאינם מונחים במישורים אלה מקבילים, נקרא פריזמה. המונח "פריזמה" הוא ממקור יווני ופירושו המילולי "מנוסר" (גוף). מצולעים השוכנים במישורים מקבילים נקראים בסיסי פריזמה, והפנים הנותרים נקראים פרצופים רוחביים. פני המנסרה מורכבים אם כן משני מצולעים שווים (בסיסים) ומקביליות (פני צד). ישנן מנסרות משולשות, מרובעיות, מחומשות וכו'. תלוי במספר הקודקודים של הבסיס.

3 שקופית

תיאור שקופיות:

כל המנסרות מחולקות לישר ונטוע. (איור 2) אם הקצה הרוחבי של מנסרה מאונך למישור הבסיס שלה, אז מנסרה כזו נקראת ישרה; אם הקצה לרוחב של פריזמה מאונך למישור הבסיס שלה, אז פריזמה כזו נקראת משופעת. למנסרה ישרה יש פני צד מלבניים. מאונך למישורי הבסיסים, שקצוותיו שייכים למישורים הללו, נקרא גובה המנסרה.

4 שקופית

תיאור שקופיות:

תכונות של פריזמה. 1. הבסיסים של המנסרה הם מצולעים שווים. 2. הפנים הצדדיות של המנסרה הן מקבילות. 3. הקצוות הרוחביים של המנסרה שווים.

5 שקופית

תיאור שקופיות:

שטח הפנים של המנסרה ושטח הפנים לרוחב של המנסרה. פני השטח של פולידרון מורכבים ממספר סופי של מצולעים (פנים). שטח הפנים של פולידרון הוא סכום השטחים של כל פניו. שטח הפנים של המנסרות (Spr) שווה לסכום שטחי פניה הצדדיים (שטח פני הצד Sside) ושטחי שני הבסיסים (2Sbas) - מצולעים שווים: Spop = Sside + 2Sbas. מִשׁפָּט. שטח המשטח הרוחבי של המנסרה שווה למכפלת היקף החתך הניצב שלה ואורך הקצה הרוחבי.

6 שקופית

תיאור שקופיות:

הוכחה. פניה הרוחביים של מנסרה ישרה הם מלבנים, שבסיסיהם הם צלעות בסיס המנסרה, והגבהים שווים לגובה h של המנסרה. הצד של משטח המנסרה שווה לסכום S של המשולשים המצוינים, כלומר. שווה לסכום התוצרים של צלעות הבסיס והגובה h. בהוצאת הגורם h מתוך סוגריים, נקבל בסוגריים את סכום הצלעות של בסיס המנסרה, כלומר. היקף P. אז, Sside = Ph. המשפט הוכח. תוֹצָאָה. שטח הפנים לרוחב של פריזמה ישרה שווה למכפלת היקף הבסיס שלה וגובהה. ואכן, בפריזמה ישרה, הבסיס יכול להיחשב כחתך מאונך, והקצה לרוחב הוא הגובה.

7 שקופית

תיאור שקופיות:

חתך מנסרה 1. חתך מנסרה על ידי מישור מקביל לבסיס. החתך יוצר מצולע השווה למצולע השוכן בבסיס. 2. חתך של פריזמה על ידי מישור העובר דרך שני קצוות רוחביים לא צמודים. מקבילית נוצרת בחתך. קטע זה נקרא הקטע האלכסוני של המנסרה. במקרים מסוימים, התוצאה עשויה להיות יהלום, מלבן או ריבוע.

8 שקף

תיאור שקופיות:

שקופית 9

תיאור שקופיות:

הגדרה 2. פריזמה ישרה, שבסיסה הוא מצולע רגיל, נקראת פריזמה רגילה. תכונות של פריזמה רגילה 1. הבסיסים של פריזמה רגילה הם מצולעים רגילים. 2. הפנים הצדדיות של פריזמה רגילה הם מלבנים שווים. 3. הקצוות הצדדיים של פריזמה רגילה שווים.

10 שקופית

תיאור שקופיות:

קטע של פריזמה רגילה. 1. חתך של פריזמה רגילה עם מישור מקביל לבסיס. החתך יוצר מצולע רגיל השווה למצולע השוכן בבסיס. 2. חתך של פריזמה רגילה על ידי מישור העובר דרך שני קצוות רוחביים לא צמודים. בחתך נוצר מלבן. במקרים מסוימים, עשוי להיווצר ריבוע.

11 שקופית

תיאור שקופיות:

סימטריה של פריזמה רגילה 1. מרכז הסימטריה עם מספר זוגי של צלעות הבסיס הוא נקודת החיתוך של האלכסונים של מנסרה רגילה (איור 6)

פריזמה משולשת היא מוצק תלת מימדי שנוצר על ידי חיבור מלבנים ומשולשים. בשיעור זה תלמדו כיצד למצוא את גודל הפנים (נפח) והחוץ (שטח פני השטח) של פריזמה משולשת.

מנסרה משולשת הוא פנטהדרון שנוצר על ידי שני מישורים מקבילים שבהם ממוקמים שני משולשים, היוצרים שני פנים של מנסרה, ושלושת הפרצופים הנותרים הם מקבילים הנוצרים מצלעי המשולשים.

אלמנטים של פריזמה משולשת

משולשים ABC ו-A 1 B 1 C 1 הם בסיסי פריזמה .

המרובעים A 1 B 1 BA, B 1 BCC 1 ו-A 1 C 1 CA הם הפנים הצדדיות של המנסרה .

הצדדים של הפנים הם צלעות פריזמה(A 1 B 1, A 1 C 1, C 1 B 1, AA 1, CC 1, BB 1, AB, BC, AC), למנסרה משולשת יש 9 פנים בסך הכל.

גובהה של מנסרה הוא הקטע הניצב המחבר בין שני פניה של המנסרה (בדמות הוא h).

האלכסון של פריזמה הוא קטע שיש לו קצוות בשני קודקודים של המנסרה שאינם שייכים לאותה פנים. עבור פריזמה משולשת לא ניתן לצייר אלכסון כזה.

שטח בסיס הוא שטח הפנים המשולשים של המנסרה.

הוא סכום שטחי הפנים המרובעים של המנסרה.

סוגי מנסרות משולשות

ישנם שני סוגים של פריזמה משולשת: ישרה ומשופעת.

למנסרה ישרה יש פני צד מלבניים, ולפריזמה משופעת יש פני צד מקבילים (ראה איור)

מנסרה שקצוות הצד שלה מאונכים למישורי הבסיסים נקראת קו ישר.

מנסרה שקצוות הצד שלה נוטים למישורי הבסיסים נקראת משופעת.

נוסחאות בסיסיות לחישוב מנסרה משולשת

נפח של פריזמה משולשת

כדי למצוא את הנפח של מנסרה משולשת, עליך להכפיל את שטח הבסיס שלה בגובה המנסרה.

נפח פריזמה = שטח בסיס x גובה

V=S בסיסי ח

שטח פנים רוחבי של פריזמה

כדי למצוא את שטח הפנים לרוחב של פריזמה משולשת, אתה צריך להכפיל את היקף הבסיס שלה בגובה שלה.

שטח פנים לרוחב של פריזמה משולשת = היקף בסיס x גובה

צד S = P ראשי ח

שטח הפנים הכולל של המנסרה

כדי למצוא את שטח הפנים הכולל של פריזמה, עליך להוסיף את שטח הבסיס שלה ואת שטח הפנים לרוחב.

שכן צד S = P ראשי. ח, אז נקבל:

S סיבוב מלא =P בסיסי h+2S בסיסי

פריזמה נכונה - פריזמה ישרה שבסיסה הוא מצולע רגיל.

תכונות פריזמה:

הבסיס העליון והתחתון של המנסרה הם מצולעים שווים.
לפנים הצדדיים של המנסרה יש צורה של מקבילית.
הקצוות הרוחביים של המנסרה מקבילים ושווים.

טיפ: בעת חישוב פריזמה משולשת, עליך לשים לב ליחידות המשמשות. לדוגמה, אם שטח הבסיס מצוין בס"מ 2, אזי יש לבטא את הגובה בסנטימטרים ואת הנפח בס"מ 3. אם שטח הבסיס הוא במ"מ 2, אז הגובה צריך להיות מבוטא במ"מ, ואת הנפח במ"מ 3 וכו'.

דוגמה לפריזמה

בדוגמה זו:
- ABC ו-DEF מרכיבים את הבסיסים המשולשים של המנסרה
- ABED, BCFE ו-ACFD הם פני צד מלבניים
- קצוות הצד DA, EB ו-FC תואמים לגובה המנסרה.
- נקודות A, B, C, D, E, F הן קודקודי המנסרה.

בעיות לחישוב פריזמה משולשת

בעיה 1. הבסיס של מנסרה משולשת ישרה הוא משולש ישר זווית עם רגליים 6 ו-8, קצה הצד הוא 5. מצא את נפח המנסרה.
פִּתָרוֹן:הנפח של פריזמה ישרה שווה ל-V = Sh, כאשר S הוא שטח הבסיס ו-h הוא קצה הצד. שטח הבסיס במקרה זה הוא שטח של משולש ישר זווית (שטחו שווה למחצית משטח מלבן עם צלעות 6 ו-8). לפיכך, הנפח שווה ל:

V = 1/2 6 8 5 = 120.

משימה 2.

מישור המקביל לקצה הצד נמשך דרך הקו האמצעי של בסיס הפריזמה המשולשת. נפח המנסרה המשולשת החתוכה הוא 5. מצא את נפח הפריזמה המקורית.

פִּתָרוֹן:

נפח המנסרה שווה למכפלת שטח הבסיס והגובה: V = S בסיס h.

המשולש השוכן בבסיס המנסרה המקורית דומה למשולש השוכן בבסיס הפריזמה החתוכה. מקדם הדמיון הוא 2, מכיוון שהחתך נמשך דרך הקו האמצעי (הממדים הליניאריים של המשולש הגדול יותר גדולים פי שניים מהממדים הליניאריים של הקטן). ידוע שהשטחים של דמויות דומות קשורים בריבוע של מקדם הדמיון, כלומר S 2 = S 1 k 2 = S 1 2 2 = 4S 1 .

שטח הבסיס של המנסרה כולה גדול פי 4 משטח הבסיס של הפריזמה החתוכה. הגבהים של שתי המנסרות זהים, כך שנפח המנסרה כולה הוא פי 4 מנפח הפריזמה החתוכה.

לפיכך, הנפח הנדרש הוא 20.

חתכים אלכסוניים החתך של פריזמה על ידי מישור העובר דרך אלכסון הבסיס ושני הקצוות הצדדיים הסמוכים לו נקרא החתך האלכסוני של המנסרה. קטע של פירמידה עם מישור העובר דרך אלכסון הבסיס והחלק העליון נקרא קטע אלכסוני של הפירמידה. תנו למישור לחצות את הפירמידה ולהיות מקביל לבסיס שלה. החלק של הפירמידה הכלוא בין מישור זה לבסיס נקרא פירמידה קטומה. חתך הרוחב של פירמידה נקרא גם בסיס של פירמידה קטומה.

בניית קטעים בעת בניית קטעים של פולי-הדרה, הבסיסיים שבהם הם בניית נקודת החיתוך של קו ישר ומישור, וכן קו החיתוך של שני מישורים. אם ניתנות שתי נקודות A ו-B של ישר וההטלות שלהן A' ו-B' על המישור ידועות, אזי נקודת C של חיתוך נתוני הישר והמישור תהיה נקודת החיתוך של הקווים. AB ו-A'B' אם שלוש נקודות A, B, C של המישור ניתנות והן ידועות תחזיותיהן A', B', C' על מישור אחר, אז כדי למצוא את קו החיתוך של מישורים אלה, הנקודות P ו-Q של חיתוך הקווים AB ו-AC עם המישור השני נמצאים. הקו הישר PQ יהיה קו החיתוך הרצוי של המטוסים.

תרגיל 1 בנו קטע של קובייה עם מישור שעובר דרך נקודות E, F מונח על קצוות הקובייה וקודקוד B. פתרון. כדי לבנות קטע של קובייה העוברת דרך נקודות E, F וקודקוד B, נחבר עם קטעים נקודות E ו-B, F ו-B. דרך נקודות E ו-F נשרטט קווים מקבילים ל-BF ו-BE, בהתאמה. המקבילית המתקבלת BFGE תהיה הקטע הרצוי.

תרגיל 2 בנו קטע של קובייה עם מישור העובר דרך נקודות E, F, G מונח על קצוות הקובייה. פִּתָרוֹן. כדי לבנות קטע של קובייה העוברת בנקודות E, F, G, צייר קו ישר EF וסמן את P נקודת החיתוך שלו עם AD. תנו ל-Q לסמן את נקודת החיתוך של הקווים PG ו-AB. בואו נחבר את הנקודות E ו-Q, F ו-G. הטרפז המתקבל EFGQ יהיה הקטע הרצוי.

תרגיל 3 בנו קטע מהקובייה עם מישור העובר דרך נקודות E, F, G מונח על קצוות הקובייה. פִּתָרוֹן. כדי לבנות קטע של קובייה העוברת בנקודות E, F, G, צייר קו ישר EF וסמן את P נקודת החיתוך שלו עם AD. הבה נסמן ב-Q, R את נקודות החיתוך של הישר PG עם AB ו-DC. הבה נסמן ב-S את נקודת החיתוך של FR עם CC 1. הבה נחבר את הנקודות E ו-Q, G ו-S. המחומש המתקבל EFSGQ יהיה הקטע הרצוי.

תרגיל 4 בנו קטע מהקובייה עם מישור העובר דרך נקודות E, F, G מונח על קצוות הקובייה. פִּתָרוֹן. כדי לבנות קטע של קובייה העוברת בנקודות E, F, G, נמצא את נקודת החיתוך P של הישר EF ומישור הפנים ABCD. הבה נסמן ב-Q, R את נקודות החיתוך של הישר PG עם AB ו-CD. צייר קו RF וסמן את S, T נקודות החיתוך שלו עם CC 1 ו-DD 1. צייר קו TE וסמן את U נקודת החיתוך שלו עם A 1 D 1. חבר את הנקודות E ו-Q, G ו-S, U ו-F המשושה שיתקבל EUFSGQ יהיה הקטע הרצוי.

תרגיל 5 בנו קטע של הקובייה על ידי מישור העובר דרך נקודות E, F, G, השייכות לפרצופים BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, בהתאמה. פִּתָרוֹן. מנקודות אלו, אנו מורידים את הניצבים EE', FF', GG' למישור הפנים ABCD, ונמצא את הנקודות I ו-H של חיתוך הקווים FE ו-FG עם מישור זה. IH יהיה קו החיתוך של המישור הרצוי ומישור הפנים ABCD. הבה נסמן ב-Q, R את נקודות החיתוך של הישר IH עם AB ו-BC. נצייר קווים PG ו-QE ונסמן את R, S נקודות החיתוך שלהם עם AA 1 ו-CC 1. נצייר קווים SU, UV ו-RV, במקביל ל-PR, PQ ו-QS. המשושה שיתקבל RPQSUV יהיה הקטע הרצוי.

תרגיל 6 בנו קטע מהקובייה עם מישור העובר דרך נקודות E, F מונח על קצוות הקוביה, במקביל לאלכסון BD. פִּתָרוֹן. הבה נצייר קווים FG ו-EH במקביל ל-BD. נצייר קו ישר FP במקביל ל-EG ונחבר את הנקודות P ו-G. נחבר את הנקודות E ו-G, F ו-H. המחומש המתקבל EGPFH יהיה הקטע הנדרש.

בנו קטע מהמנסרה ABCA 1 B 1 C 1 עם מישור העובר דרך נקודות E, F, G. תרגיל 8 פתרון. נחבר את הנקודות E ו-F. נצייר קו FG ונקודת החיתוך שלו עם CC 1, נסמן את H. נצייר קו EH ונקודת החיתוך שלו עם A 1 C 1, נסמן את I. נחבר את הנקודות I ו-G. המרובע EFGI שיתקבל יהיה הקטע הרצוי.

בנו קטע מהמנסרה ABCA 1 B 1 C 1 עם מישור העובר דרך נקודות E, F, G. תרגיל 9 פתרון. נצייר קו ישר EG ונסמן את H ו-I נקודות החיתוך שלו עם CC 1 ו-AC. נצייר קו ישר IF ונקודת החיתוך שלו עם AB נסמן את K. נצייר קו FH ונקודת החיתוך שלו עם B 1 C 1 נסמן את L. בוא נחבר את הנקודות E ו-K, G ו-L. המחומש המתקבל EKFLG יהיה הקטע הרצוי.

בנו קטע מהמנסרה ABCA 1 B 1 C 1 עם מישור מקביל ל-AC 1 העובר בנקודות D 1. תרגיל 10 פתרון. דרך נקודה D נשרטט קו מקביל ל-AC 1 ונסמן את E נקודת החיתוך שלו עם הישר BC 1. נקודה זו תהיה שייכת למישור הפנים ADD 1 A 1. נצייר קו DE וסמן את F נקודת החיתוך שלו עם קצה לפני הספירה. נחבר את נקודות F ו-D עם קטע דרך נקודה D נשרטט קו מקביל לישר FD ונסמן ב-G את נקודת החיתוך שלו עם הקצה A 1 C 1, H – נקודת החיתוך שלו עם ישר A 1 B 1. הבה נצייר קו DH ונסמן ב-P את נקודת החיתוך שלו עם קצה AA 1. נחבר את הנקודות P ו-G עם קטע. המרובע המתקבל EFIK יהיה החתך הנדרש.

בנו קטע מהמנסרה ABCA 1 B 1 C 1 על ידי מישור העובר דרך נקודות E על קצה BC, F על הפנים ABB 1 A 1 ו-G על הפנים ACC 1 A 1. תרגיל 11 פתרון. נצייר קו GF ונמצא את נקודת H של החיתוך שלו עם המישור ABC. נצייר קו ישר EH, ונסמן ב-P וב-I את נקודות החיתוך שלו עם AC ו-AB. נצייר קווים ישרים PG ו-IF, ונסמן את S, R ו-Q נקודות החיתוך שלהם עם A 1 C 1, A 1 B 1 ו-BB 1. בוא נחבר את הנקודות E ו-Q, S ו-R. המחומש EQRSP שיתקבל יהיה הקטע הרצוי.

בנו קטע של פריזמה משושה רגילה עם מישור העובר בנקודות A, B, D 1. תרגיל 12 פתרון. שימו לב שהחתך יעבור בנקודה E 1. נצייר קו AB ונמצא את נקודות החיתוך שלו K ו-L עם קווים CD ו-FE. נצייר את הקווים KD 1, LE 1 ונמצא את נקודות החיתוך שלהם P, Q עם הקווים CC 1 ו-FF 1. המשושה ABPD 1 E 1 Q יהיה החתך הנדרש.

בנה קטע של פריזמה משושה רגילה עם מישור העובר דרך נקודות A, B', F'. תרגיל 13 פתרון. בואו נצייר קטעים AB' ו-AF'. דרך נקודה B' נשרטט קו מקביל ל-AF', ונקודת החיתוך שלו עם EE 1 נסמן את E'. דרך נקודה F' נשרטט קו מקביל ל-AB', ואת נקודת החיתוך שלו עם CC 1 נסמן כ-C'. דרך הנקודות E' ו-C' אנו מציירים קווים מקבילים ל-AB' ו-AF', ואת נקודות החיתוך שלהם עם D 1 E 1 ו- C 1 D 1 נסמן כ-D', D". בואו נחבר נקודות ב', ג'; ד', ד"; ו', ה'. הפטגון שהתקבל AB'C'D"D'E'F' יהיה הקטע הרצוי.

בנה קטע של פריזמה משושה רגילה עם מישור העובר דרך נקודות F', B', D'. תרגיל 14 פתרון. נצייר קווים ישרים F'B' ו-F'D' ונמצא את נקודות החיתוך שלהם P ו-Q עם מישור ABC. בוא נעשה PQ ישיר. תן R לסמן את נקודת החיתוך של PQ ו-FC. הבה נסמן את נקודת החיתוך של F'R ו-CC 1 בתור C'. בואו נחבר נקודות B', C' ו-C', D'. דרך נקודה F' אנו מציירים קווים מקבילים ל-C'D' ו-B'C', ואת נקודות החיתוך שלהם עם AA 1 ו-EE 1 נסמן כ-A' ו-E'. בואו נחבר נקודות A', B' ו-E', D'. המשושה המתקבל A'B'C'D'E'F' יהיה הקטע הרצוי.