בשיעור זה נסתכל על שתי פעולות נוספות עם וקטורים: תוצר וקטור של וקטוריםו מכפלה מעורבת של וקטורים (קישור מיידי למי שצריך). זה בסדר, לפעמים זה קורה שעבור אושר מוחלט, בנוסף מכפלה סקלרית של וקטורים, נדרשים יותר ויותר. זו התמכרות וקטורית. אולי נראה שאנחנו נכנסים לג'ונגל של הגיאומטריה האנליטית. זה לא נכון. בחלק זה של מתמטיקה גבוהה יותר יש בדרך כלל מעט עץ, פרט אולי לפינוקיו. למעשה, החומר מאוד נפוץ ופשוט - כמעט לא מסובך יותר מאותו הדבר מוצר סקלרי, יהיו אפילו פחות משימות טיפוסיות. העיקר בגיאומטריה אנליטית, כפי שרבים ישתכנעו או כבר השתכנעו, הוא לא לעשות טעויות בחישובים. חזור כמו כישוף ותהיה מאושר =)

אם וקטורים נוצצים איפשהו רחוק, כמו ברק באופק, זה לא משנה, התחל עם השיעור וקטורים עבור בובותלשחזר או לרכוש מחדש ידע בסיסי על וקטורים. קוראים מוכנים יותר יכולים להכיר את המידע באופן סלקטיבי; ניסיתי לאסוף את האוסף השלם ביותר של דוגמאות שנמצאות לרוב בעבודה מעשית

מה ישמח אותך מיד? כשהייתי קטן, יכולתי ללהטט בשניים ואפילו שלושה כדורים. זה הסתדר היטב. עכשיו לא תצטרכו ללהטט בכלל, כי אנחנו נשקול רק וקטורים מרחביים, ווקטורים שטוחים עם שתי קואורדינטות יישארו בחוץ. למה? כך נולדו הפעולות הללו – המכפלה הווקטורית והמעורבת של וקטורים מוגדרות ופועלות במרחב תלת מימדי. זה כבר יותר קל!

פעולה זו, בדיוק כמו המוצר הסקלרי, כוללת שני וקטורים. שיהיו אלה מכתבים בלתי נדלים.

הפעולה עצמה מסומן על ידיבאופן הבא: . יש אפשרויות אחרות, אבל אני רגיל לסמן את המכפלה הווקטורית של וקטורים כך, בסוגריים מרובעים עם צלב.

ומיד שְׁאֵלָה: אני סנפיר מכפלה סקלרית של וקטוריםשני וקטורים מעורבים, וכאן גם שני וקטורים מוכפלים, אם כן מה ההבדל? ההבדל הברור הוא, קודם כל, בתוצאה:

התוצאה של המכפלה הסקלרית של וקטורים היא NUMBER:

התוצאה של מכפלת צולב של וקטורים היא VECTOR: , כלומר, נכפיל את הוקטורים ונקבל שוב וקטור. מועדון סגור. למעשה, מכאן מגיע שם המבצע. בספרות חינוכית שונה, ייעודים עשויים להשתנות; אשתמש במכתב.

הגדרה של מוצר צולב

קודם תהיה הגדרה עם תמונה, אחר כך הערות.

הַגדָרָה: מוצר וקטור לא קולינאריוקטורים, נלקח בסדר הזה, שנקרא VECTOR, אורךשזה מספרית שווה לשטח המקבילית, בנוי על וקטורים אלה; וֶקטוֹר אורתוגונלי לוקטורים, והוא מכוון כך שלבסיס יהיה כיוון נכון:

בואו נפרק את ההגדרה חלק אחר חלק, יש כאן הרבה דברים מעניינים!

אז, ניתן להדגיש את הנקודות המשמעותיות הבאות:

1) הווקטורים המקוריים, מסומנים בחצים אדומים, בהגדרה לא קולינארי. זה יהיה מתאים לשקול את המקרה של וקטורים קולינאריים קצת מאוחר יותר.

2) לוקחים וקטורים בסדר מוגדר בהחלט: – "a" מוכפל ב-"be", לא "להיות" עם "א". התוצאה של כפל וקטורהוא VECTOR, המסומן בכחול. אם הווקטורים מוכפלים בסדר הפוך, נקבל וקטור שווה באורכו והפוך בכיוון (צבע פטל). כלומר, השוויון נכון .

3) כעת נכיר את המשמעות הגיאומטרית של התוצר הווקטורי. זו נקודה מאוד חשובה! LENGTH של הווקטור הכחול (ולכן, הווקטור הארגמן) שווה מספרית ל-AREA של המקבילית הבנויה על הוקטורים. באיור, מקבילית זו מוצללת בשחור.

הערה : הציור הוא סכמטי, ומטבע הדברים, האורך הנומינלי של התוצר הווקטורי אינו שווה לשטח המקבילית.

הבה ניזכר באחת הנוסחאות הגיאומטריות: השטח של מקבילית שווה למכפלת הצלעות הסמוכות ולסינוס של הזווית ביניהן. לכן, בהתבסס על האמור לעיל, הנוסחה לחישוב LENGTH של תוצר וקטור תקפה:

אני מדגיש שהנוסחה היא בערך LENGTH של הווקטור, ולא לגבי הווקטור עצמו. מה המשמעות המעשית? והמשמעות היא שבבעיות של גיאומטריה אנליטית, השטח של מקבילית נמצא לעתים קרובות דרך הרעיון של תוצר וקטור:

הבה נשיג את הנוסחה החשובה השנייה. האלכסון של מקבילית (קו אדום מנוקד) מחלק אותה לשני משולשים שווים. לכן, ניתן למצוא את שטחו של משולש הבנוי על וקטורים (הצללה אדומה) באמצעות הנוסחה:

4) עובדה חשובה לא פחות היא שהווקטור הוא אורתוגונלי לוקטורים, כלומר . כמובן, הווקטור המכוון הפוך (חץ פטל) הוא גם אורתוגונלי לוקטורים המקוריים.

5) הווקטור מכוון כך בָּסִיסיש לזה ימיןנטייה. בשיעור על מעבר לבסיס חדשדיברתי בפירוט מספיק על כיוון מטוס, ועכשיו נבין מהי כיוון החלל. אני אסביר על האצבעות שלך יד ימין. לשלב נפשית אֶצבַּעעם וקטור ו האצבע האמצעיתעם וקטור. קמיצה ואצבע קטנהלחץ אותו לתוך כף היד שלך. כתוצאה אֲגוּדָל- המוצר הווקטור יחפש למעלה. זהו בסיס מכוון ימני (זהו הבסיס באיור). עכשיו שנה את הוקטורים ( האצבע המורה והאמצעית) במקומות מסוימים, כתוצאה מכך האגודל יסתובב, והמוצר הווקטור כבר יביט למטה. זהו גם בסיס בעל אוריינטציה נכונה. אולי יש לך שאלה: איזה בסיס עזב אוריינטציה? "הקצה" לאותן אצבעות יד שמאלוקטורים, ולקבל את הבסיס השמאלי והכיוון השמאלי של החלל (במקרה זה, האגודל ימוקם בכיוון הווקטור התחתון). באופן פיגורטיבי, הבסיסים הללו "מתפתלים" או מכוונים את החלל לכיוונים שונים. והמושג הזה לא צריך להיחשב למשהו מופרך או מופשט - למשל, כיוון החלל משתנה על ידי המראה הרגילה ביותר, ואם אתה "מושך את האובייקט המשתקף מתוך המראה", אז במקרה הכללי זה לא ניתן יהיה לשלב אותו עם ה"מקורי". אגב, החזיקו שלוש אצבעות אל המראה ונתחו את ההשתקפות ;-)

כמה טוב שאתה יודע עליו עכשיו בכיוון ימין ושמאלבסיסים, כי ההצהרות של כמה מרצים על שינוי אוריינטציה מפחידות =)

מכפלה צולבת של וקטורים קולינאריים

ההגדרה נדונה בפירוט, נותר לברר מה קורה כשהווקטורים הם קולינאריים. אם הוקטורים הם קולינאריים, אז אפשר למקם אותם על קו ישר אחד וגם המקבילה שלנו "מתקפלת" לקו ישר אחד. התחום של כאלה, כפי שאומרים מתמטיקאים, דֵגֵנֵרָטמקבילית שווה לאפס. הדבר נובע מהנוסחה - הסינוס של אפס או 180 מעלות שווה לאפס, כלומר השטח הוא אפס

לפיכך, אם, אז ו . שימו לב שהמכפלה הווקטורית עצמה שווה לוקטור האפס, אבל בפועל זה נזנח לרוב וכתובים שגם הוא שווה לאפס.

מקרה מיוחד הוא מכפלה צולבת של וקטור עם עצמו:

באמצעות התוצר הווקטורי ניתן לבדוק את הקולינאריות של וקטורים תלת מימדיים, וגם את הבעיה הזו ננתח בין היתר.

כדי לפתור דוגמאות מעשיות ייתכן שתצטרך טבלה טריגונומטריתלמצוא את ערכי הסינוסים ממנו.

ובכן, בואו נדליק את האש:

דוגמה 1

א) מצא את אורך המכפלה הווקטורית של וקטורים if

ב) מצא את השטח של מקבילית הבנויה על וקטורים אם

פִּתָרוֹן: לא, זו לא שגיאת הקלדה, עשיתי בכוונה את הנתונים הראשוניים בסעיפים זהים. כי עיצוב הפתרונות יהיה שונה!

א) לפי התנאי צריך למצוא אורךוקטור (מוצר צולב). לפי הנוסחה המתאימה:

תשובה:

אם שאלו אותך לגבי אורך, אז בתשובה אנו מציינים את הממד - יחידות.

ב) לפי התנאי צריך למצוא כיכרמקבילית הבנויה על וקטורים. השטח של מקבילית זו שווה מספרית לאורך המכפלה הווקטורית:

תשובה:

שימו לב שהתשובה כלל לא מדברת על המוצר הווקטורי, נשאלנו לגביו שטח הדמות, בהתאם, הממד הוא יחידות מרובעות.

אנחנו תמיד מסתכלים על מה אנחנו צריכים למצוא לפי התנאי, ועל סמך זה אנחנו מנסחים ברורתשובה. זה אולי נראה כמו מילוליות, אבל יש הרבה מילולית בין המורים, ולמשימה יש סיכוי טוב להחזיר לתיקון. אמנם זו לא התלבטות מופרכת במיוחד - אם התשובה לא נכונה, אז מתקבל הרושם שהאדם לא מבין דברים פשוטים ו/או לא הבין את מהות המשימה. יש לשמור על נקודה זו תמיד בשליטה בעת פתרון כל בעיה במתמטיקה גבוהה יותר, וגם במקצועות אחרים.

לאן נעלמה האות הגדולה "en"? עקרונית אפשר היה לצרף את זה בנוסף לפתרון, אבל כדי לקצר את הערך לא עשיתי זאת. אני מקווה שכולם מבינים את זה וזה ייעוד לאותו דבר.

דוגמה פופולרית לפתרון עשה זאת בעצמך:

דוגמה 2

מצא את השטח של משולש הבנוי על וקטורים אם

הנוסחה למציאת שטח משולש דרך המוצר הווקטור ניתנת בהערות להגדרה. הפתרון והתשובה נמצאים בסוף השיעור.

בפועל, המשימה באמת נפוצה מאוד; משולשים יכולים בדרך כלל לייסר אותך.

כדי לפתור בעיות אחרות נצטרך:

מאפייני המכפלה הווקטורית של וקטורים

כבר שקלנו כמה מאפיינים של המוצר הווקטורי, עם זאת, אכלול אותם ברשימה זו.

עבור וקטורים שרירותיים ומספר שרירותי, המאפיינים הבאים נכונים:

1) במקורות מידע אחרים, פריט זה בדרך כלל אינו מודגש במאפיינים, אך הוא חשוב מאוד מבחינה מעשית. אז תן לזה להיות.

2) – גם הנכס נדון לעיל, לפעמים הוא נקרא אנטי קומוטטיביות. במילים אחרות, סדר הוקטורים חשוב.

3) – אסוציאטיבי או אסוציאטיביחוקי מוצרים וקטוריים. ניתן להזיז בקלות קבועים מחוץ למוצר הווקטור. באמת, מה הם צריכים לעשות שם?

4) – הפצה או חלוקתיחוקי מוצרים וקטוריים. גם בפתיחת הסוגריים אין בעיות.

כדי להדגים, בואו נסתכל על דוגמה קצרה:

דוגמה 3

מצא אם

פִּתָרוֹן:התנאי שוב מחייב למצוא את אורך המכפלה הווקטורית. בואו נצייר את המיניאטורה שלנו:

(1) על פי חוקים אסוציאטיביים, אנו לוקחים את הקבועים מחוץ לתחום המכפלה הווקטורית.

(2) אנו מזיזים את הקבוע מחוץ למודול, והמודול "אוכל" את סימן המינוס. האורך לא יכול להיות שלילי.

(3) השאר ברור.

תשובה:

הגיע הזמן להוסיף עוד עצים למדורה:

דוגמה 4

חשב את שטחו של משולש הבנוי על וקטורים אם

פִּתָרוֹן: מצא את שטח המשולש באמצעות הנוסחה . הקאץ' הוא שהווקטורים "tse" ו-"de" מוצגים בעצמם כסכומים של וקטורים. האלגוריתם כאן סטנדרטי ומזכיר קצת דוגמאות מס' 3 ו-4 של השיעור מכפלת נקודה של וקטורים. למען הבהירות, נחלק את הפתרון לשלושה שלבים:

1) בשלב הראשון, אנו מבטאים את המכפלה הווקטורית באמצעות המכפלה הווקטורית, למעשה, בואו נבטא וקטור במונחים של וקטור. אין עדיין מילה על אורכים!

(1) החלף את הביטויים של הוקטורים.

(2) באמצעות חוקים חלוקתיים, נפתח את הסוגריים לפי כלל הכפל של פולינומים.

(3) באמצעות חוקים אסוציאטיביים, אנו מזיזים את כל הקבועים מעבר לתוצרים הוקטוריים. עם קצת ניסיון, ניתן לבצע את שלבים 2 ו-3 בו זמנית.

(4) האיבר הראשון והאחרון שווים לאפס (וקטור אפס) בגלל התכונה הנחמדה. במונח השני אנו משתמשים בתכונת האנטי-קומוטטיביות של תוצר וקטור:

(5) אנו מציגים מונחים דומים.

כתוצאה מכך, התברר שהווקטור בא לידי ביטוי באמצעות וקטור, וזה מה שנדרש כדי להשיג:

2) בשלב השני נמצא את אורך התוצר הווקטורי שאנו צריכים. פעולה זו דומה לדוגמא 3:

3) מצא את השטח של המשולש הנדרש:

אפשר היה לכתוב את שלבים 2-3 של הפתרון בשורה אחת.

תשובה:

הבעיה הנחשבת נפוצה למדי במבחנים, הנה דוגמה לפתרון בעצמך:

דוגמה 5

מצא אם

פתרון קצר ותשובה בסוף השיעור. בוא נראה כמה קשוב היית בלימוד הדוגמאות הקודמות ;-)

מכפלת צולב של וקטורים בקואורדינטות

, שצוין על בסיס אורתונורמלי, מתבטאת בנוסחה:

הנוסחה ממש פשוטה: בשורה העליונה של הקובע נכתוב את וקטורי הקואורדינטות, בשורה השנייה והשלישית "שמים" את הקואורדינטות של הוקטורים, ושמנו בסדר קפדני- תחילה הקואורדינטות של וקטור "ve", ולאחר מכן הקואורדינטות של וקטור "כפול-ve". אם צריך להכפיל את הוקטורים בסדר אחר, יש להחליף את השורות:

דוגמה 10

בדוק אם וקטורי המרחב הבאים הם קולינאריים:
א)
ב)

פִּתָרוֹן: הבדיקה מבוססת על אחת מהמשפטים בשיעור זה: אם הוקטורים הם קולינאריים, אז המכפלה הווקטורית שלהם שווה לאפס (וקטור אפס): .

א) מצא את המוצר הווקטור:

לפיכך, הוקטורים אינם קולינאריים.

ב) מצא את המוצר הווקטור:

תשובה: א) לא קולינארי, ב)

הנה, אולי, כל המידע הבסיסי על המכפלה הווקטורית של וקטורים.

חלק זה לא יהיה גדול במיוחד, מכיוון שיש מעט בעיות שבהן נעשה שימוש במכפלה המעורבת של וקטורים. למעשה, הכל יהיה תלוי בהגדרה, במשמעות הגיאומטרית ובכמה נוסחאות עבודה.

מכפלה מעורבת של וקטורים היא מכפלה של שלושה וקטורים:

אז הם עמדו בתור כמו רכבת ולא יכולים לחכות שיזהו אותם.

ראשית, שוב, הגדרה ותמונה:

הַגדָרָה: עבודה מעורבת לא קומפלנריוקטורים, נלקח בסדר הזה, שקוראים לו נפח מקבילי, בנוי על וקטורים אלה, מצויד בסימן "+" אם הבסיס ימני, ובסימן "-" אם הבסיס הוא שמאלי.

בוא נעשה את הציור. קווים בלתי נראים לנו מצוירים בקווים מקווקוים:

בואו נצלול לתוך ההגדרה:

2) לוקחים וקטורים בסדר מסוים, כלומר, סידור מחדש של וקטורים במוצר, כפי שניתן לנחש, אינו מתרחש ללא השלכות.

3) לפני שאעיר על המשמעות הגיאומטרית, אציין עובדה ברורה: המכפלה המעורבת של וקטורים היא NUMBER: . בספרות חינוכית, העיצוב עשוי להיות שונה במקצת; אני רגיל לסמן מוצר מעורב ב-, ואת התוצאה של חישובים באות "pe".

א-קדמורי המוצר המעורב הוא נפח המקבילית, בנוי על וקטורים (הדמות מצוירת עם וקטורים אדומים וקווים שחורים). כלומר, המספר שווה לנפח של מקבילית נתונה.

הערה : הציור הוא סכמטי.

4) בואו לא נדאג שוב לגבי הרעיון של אוריינטציה של הבסיס והמרחב. המשמעות של החלק האחרון היא שניתן להוסיף סימן מינוס לנפח. במילים פשוטות, מוצר מעורב יכול להיות שלילי: .

ישירות מההגדרה נובעת הנוסחה לחישוב נפח של מקבילי הבנוי על וקטורים.

מבחן מס' 1

וקטורים. אלמנטים של אלגברה גבוהה יותר

1-20. אורכי הוקטורים ו ו ידועים; – הזווית בין הוקטורים הללו.

חשב: 1) ו, 2).3) מצא את שטח המשולש הבנוי על הוקטורים ו.

תעשה ציור.

פִּתָרוֹן. שימוש בהגדרה של מכפלת נקודות של וקטורים:

והמאפיינים של המוצר הסקלרי: ,

1) מצא את הריבוע הסקלרי של הווקטור:

כלומר, אז.

בטענה דומה, אנחנו מקבלים

כלומר, אז.

לפי הגדרה של מוצר וקטור: ,

בהתחשב בכך

שטחו של משולש הבנוי מוקטורים ושווה ל

21-40. קואורדינטות ידועות של שלושה קודקודים א, ב, דמַקבִּילִית א ב ג ד. באמצעות אלגברה וקטורית, אתה צריך:

א(3;0;-7), ב(2;4;6), ד(-7;-5;1)

פִּתָרוֹן.

ידוע שהאלכסונים של מקבילית מחולקים לשניים בנקודת החיתוך. לכן, הקואורדינטות של הנקודה ה- חיתוך של אלכסונים - מצא כקואורדינטות של אמצע הקטע BD. מציין אותם ב איקס ה ,y ה , ז האנחנו מקבלים את זה

אנחנו מקבלים.

הכרת הקואורדינטות של הנקודה ה- נקודת האמצע של האלכסון BDוהקואורדינטות של אחד מקצוותיו א(3;0;-7), באמצעות נוסחאות אנו קובעים את הקואורדינטות הנדרשות של הקודקוד עםמַקבִּילִית:

אז, העליון.

2) כדי למצוא את ההשלכה של וקטור על וקטור, נמצא את הקואורדינטות של הוקטורים הבאים: ,

באופן דומה . ההשלכה של וקטור על וקטור נמצאת באמצעות הנוסחה:

3) הזווית בין האלכסונים של מקבילית נמצאת בתור הזווית בין הוקטורים

ולפי המאפיין של המוצר הסקלרי:

לאחר מכן

4) מצא את השטח של המקבילית כמודולוס של המכפלה הווקטורית:

5) נפח הפירמידה נמצא כשישית מהמודלוס של המכפלה המעורבת של וקטורים, כאשר O(0;0;0), ואז

ואז הנפח הנדרש (יחידות מעוקבות)

41-60. מטריצות נתונות:

V C -1 +3A T

ייעודים:

ראשית, נמצא את המטריצה ​​ההפוכה של מטריצה ​​C.

לשם כך, אנו מוצאים את הקובע שלו:

הקובע שונה מאפס, לכן המטריצה ​​אינה יחידה ועבורה ניתן למצוא את המטריצה ​​ההפוכה C -1

הבה נמצא את המשלים האלגבריים באמצעות הנוסחה , היכן הוא המינור של האלמנט:

לאחר מכן , .

61–80. פתרו את מערכת המשוואות הלינאריות:

שיטת קריימר; 2. שיטת מטריקס.

פִּתָרוֹן.

א) שיטת קריימר

בואו נמצא את הקובע של המערכת

מאז, למערכת יש פתרון ייחודי.

בואו נמצא את הקובעים ועל ידי החלפת העמודה הראשונה, השנייה, השלישית במטריצת המקדם בעמודה של איברים חופשיים, בהתאמה.

לפי הנוסחאות של קריימר:

ב)שיטת מטריצה ​​(באמצעות מטריצה ​​הפוכה).

אנו כותבים מערכת זו בצורת מטריצה ​​ופותרים אותה באמצעות המטריצה ​​ההפוכה.

לתת א- מטריצת מקדמים עבור לא ידועים; איקס– טור מטריצה ​​של לא ידועים איקס, y, זו נ- טור מטריצה ​​של חברים בחינם:

ניתן לכתוב את הצד השמאלי של מערכת (1) כמכפלה של מטריצות, ואת הצד הימני כמטריצה נ. לכן יש לנו את משוואת המטריצה

מאז הקובע של המטריצה אשונה מאפס (נקודה "א"), ואז המטריצה איש מטריצה ​​הפוכה. בוא נכפיל את שני הצדדים של השוויון (2) משמאל במטריצה, נקבל

מאיפה ההיא מטריצת הזהות, ולאחר מכן

תן לנו מטריצה ​​לא יחידנית A:

לאחר מכן נמצא את המטריצה ​​ההפוכה באמצעות הנוסחה:

איפה א ij- השלמה אלגברית של אלמנט א ijבדטרמיננטה של ​​המטריצה א, שהוא המכפלה של (-1) i+j והקטנה (הקביעה) n-1הזמנה שהושגה על ידי מחיקה i-thקווים ו jthעמודה בדטרמיננטה של ​​מטריצה ​​A:

מכאן נקבל את המטריצה ​​ההפוכה:

עמודה X: X=A -1 H

81–100. פתרו מערכת של משוואות ליניאריות בשיטת גאוס

פִּתָרוֹן. בוא נכתוב את המערכת בצורה של מטריצה ​​מורחבת:

אנו מבצעים טרנספורמציות יסודיות עם מיתרים.

מהשורה ה-2 נחסר את השורה הראשונה כפול 2. משורה 3 נחסר את השורה הראשונה כפול 4. משורה 4 נחסר את השורה הראשונה, נקבל את המטריצה:

לאחר מכן, נקבל אפס בעמודה הראשונה של השורות הבאות; כדי לעשות זאת, נחסר את השורה השלישית מהשורה השנייה. מהשורה השלישית, מחסירים את השורה השנייה, כפול 2. מהשורה הרביעית, מחסירים את השורה השנייה, כפול 3. כתוצאה מכך, נקבל מטריצה ​​בצורה:

מהשורה הרביעית נחסר את השלישית.

בואו נחליף את השורה הלפני אחרונה והאחרונה:

המטריצה ​​האחרונה שקולה למערכת המשוואות:

מהמשוואה האחרונה של המערכת אנו מוצאים .

החלפה לתוך המשוואה הלפני אחרונה, נקבל .

מהמשוואה השנייה של המערכת נובע מכך

מהמשוואה הראשונה נמצא את x:

תשובה:

מבחן מס' 2

גיאומטריה אנליטית

1-20. נתון הקואורדינטות של קודקודי המשולש א ב ג.למצוא:

1) אורך צד אIN;

2) משוואות הצלעות א.בו שמשומקדמי הזווית שלהם;

3) זווית INברדיאנים מדויקים לשתי ספרות;

4) משוואת גובה CDואורכו;

5) משוואה חציונית AE

גוֹבַה CD;

למקבילים לצד AB,

7) לעשות ציור.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

פִּתָרוֹן.

החלת (1), אנו מוצאים את אורך הצלע א.ב:

2) משוואות הצלעות א.בו שמשומקדמי הזווית שלהם:

משוואת ישר העובר דרך הנקודות ויש לה את הצורה

החלפת הקואורדינטות של הנקודות ב-(2) או IN, נקבל את משוואת הצלע א.ב:

(א.ב).

(לִפנֵי הַסְפִירָה).

3) זווית INברדיאנים עם דיוק של שתי ספרות.

ידוע שהמשיק של הזווית בין שני ישרים שמקדמים הזוויתיים שווים בהתאמה ומחושב לפי הנוסחה

זווית נדרשת INנוצר על ידי קווים ישרים א.בו שמש, שמקדמים הזוויתיים נמצאים: ; . הגשת בקשה (3), נקבל

; , או

4) משוואת גובה CDואורכו.

מרחק מנקודה C לישר AB:

5) משוואה חציונית AEואת הקואורדינטות של נקודת K של החיתוך של חציון זה עם

גוֹבַה CD.

אמצע צד השמש:

ואז המשוואה AE:

אנו פותרים את מערכת המשוואות:

6) משוואת ישר העובר דרך נקודה למקבילים לצד א.ב:

מאחר והקו הרצוי מקביל לצד א.ב, אז מקדם הזוויתי שלו יהיה שווה למקדם הזוויתי של הקו הישר א.ב. החלפת הקואורדינטות של הנקודה שנמצאה ב-(4) לואת המדרון, אנחנו מקבלים

; (KF).

שטח המקבילית הוא 12 מטרים רבועים. יחידות, שני הקודקודים שלו הם נקודות A(-1;3)ו B(-2;4).מצא את שני הקודקודים האחרים של מקבילית זו אם ידוע שנקודת החיתוך של האלכסונים שלה נמצאת על ציר ה-x. תעשה ציור.

פִּתָרוֹן. תן לנקודת החיתוך של האלכסונים קואורדינטות.

אז ברור ש

לכן, הקואורדינטות של הוקטורים הן .

אנו מוצאים את השטח של מקבילית באמצעות הנוסחה

אז הקואורדינטות של שני הקודקודים האחרים הם .

בבעיות 51-60 ניתנות הקואורדינטות של הנקודות א' וב'. נדרש:

כתבו משוואה קנונית להיפרבולה העוברת בנקודות אלו א' וב',אם מוקדי ההיפרבולה ממוקמים על ציר ה-x;

מצא את הצירים למחצה, המוקדים, האקסצנטריות והמשוואות של אסימפטוטות של היפרבולה זו;

מצא את כל נקודות החיתוך של ההיפרבולה עם עיגול שמרכזו במקור, אם עיגול זה עובר דרך מוקדי ההיפרבולה;

בנה היפרבולה, האסימפטוטות והמעגל שלה.

A(6;-2), B(-8;12).

פִּתָרוֹן. משוואת ההיפרבולה הרצויה בצורה קנונית כתובה

איפה א- חצי ציר אמיתי של ההיפרבולה, ב-חצי ציר דמיוני. החלפת הקואורדינטות של הנקודות או INבמשוואה זו אנו מוצאים את הצירים למחצה:

– משוואת היפרבולה: .

צירים למחצה a=4,

אורך מוקד מתמקד (-8.0) ו-(8.0)

תִמהוֹנִיוּת

אסיפטוטים:

אם מעגל עובר דרך המקור, המשוואה שלו היא

בהחלפת אחד המוקדים, נמצא את משוואת המעגל

מצא את נקודות החיתוך של ההיפרבולה והמעגל:

אנחנו בונים ציור:

בבעיות 61-80, בנה גרף של פונקציה במערכת קואורדינטות קוטבית נקודה אחר נקודה, תוך מתן ערכי  דרך המרווח  /8 (0   2). מצא את משוואת הישר במערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית (הציר למחצה החיובי של האבשיסה עולה בקנה אחד עם ציר הקוטב, והקוטב עם המוצא).

פִּתָרוֹן.בואו נבנה קו לפי נקודות, לאחר שמילאנו תחילה את טבלת הערכים ו-φ.

מספר	φ ,	φ, מעלות			מספר	φ , שַׂמֵחַ	מעלות
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 אנו מסיקים שמשוואה זו מגדירה אליפסה: ניתנות נקודות א, IN , ג, ד . צריך למצוא: 1. משוואת מישור (ש), עובר דרך נקודות א ב ג דבמטוס (ש); 2. משוואת קו (אני),עובר דרך נקודות INו-D; 3. זווית בין מישור (ש)וישר (אני); 4. משוואת מישור (R),עובר דרך נקודה אמאונך לקו ישר (אני); 5. זווית בין מישורים (R)ו (ש) ; 6. משוואה של קו (T),עובר דרך נקודה אבכיוון וקטור הרדיוס שלו; 7. זווית בין קווים ישרים (אני)ו (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),ד(6;4;0) 1. משוואת מישור (ש), עובר דרך נקודות א ב גולבדוק אם הנקודה טמונה דבמישור נקבע על ידי הנוסחה מצא: 1) . 2) כיכרמַקבִּילִית, בנוי עַלו. 3) נפח המקבילי, בנוי עַל וקטורים, ו. לִשְׁלוֹט עבודהבנושא זה " אלמנטיםתורת המרחבים ליניאריים... המלצות מתודולוגיות להשלמת מבחנים ללימודי חצי משרה לתואר ראשון בהסמכה 080100. 62 בכיוון הנחיות מקביל ונפח הפירמידה, בנוי עַל וקטורים, ו. פתרון: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. משימות עבור לִשְׁלוֹט עובדסעיף I. ליניארי אַלגֶבּרָה. 1 – 10. נתון...

במאמר זה נסקור מקרוב את הרעיון של מכפלת הצלב של שני וקטורים. ניתן את ההגדרות הדרושות, נכתוב נוסחה למציאת הקואורדינטות של מכפלה וקטורית, נפרט וננמק את תכונותיו. לאחר מכן, נתעכב על המשמעות הגיאומטרית של המכפלה הווקטורית של שני וקטורים ונבחן פתרונות לדוגמאות טיפוסיות שונות.

ניווט בדף.

הגדרה של מוצר צולב.

לפני הגדרת תוצר וקטור, בואו נבין את הכיוון של משולש וקטורים מסודר במרחב תלת מימדי.

בואו נשרטט את הוקטורים מנקודה אחת. בהתאם לכיוון הווקטור, השלושה יכולים להיות ימינה או שמאלה. הבה נסתכל מסוף הווקטור כיצד הסיבוב הקצר ביותר מהוקטור אל . אם הסיבוב הקצר ביותר מתרחש נגד כיוון השעון, אזי נקראת משולשת הוקטורים ימין, אחרת - שמאלה.

כעת ניקח שני וקטורים לא קולינאריים ו- . נתווה את הוקטורים ומנקודה A. בואו נבנה וקטור כלשהו מאונך גם וגם ו. ברור שכאשר בונים וקטור, אנו יכולים לעשות שני דברים, לתת לו כיוון אחד או הפוך (ראה איור).

בהתאם לכיוון הווקטור, הטריפלט המסודר של הוקטורים יכול להיות ימני או שמאלי.

זה מקרב אותנו להגדרה של מוצר וקטור. הוא ניתן עבור שני וקטורים המוגדרים במערכת קואורדינטות מלבנית של מרחב תלת מימדי.

הַגדָרָה.

מכפלת הצלב של שני וקטוריםו , המצוין במערכת קואורדינטות מלבנית של מרחב תלת מימדי, נקרא וקטור כך

מכפלת הצלב של וקטורים ומסומן כ.

קואורדינטות של המוצר הווקטורי.

כעת ניתן את ההגדרה השנייה של מכפלה וקטורית, המאפשרת למצוא את הקואורדינטות שלו מהקואורדינטות של וקטורים נתונים ו.

הַגדָרָה.

במערכת קואורדינטות מלבנית של מרחב תלת מימדי מכפלה וקטורית של שני וקטורים ו הוא וקטור , היכן הם וקטורי הקואורדינטות.

הגדרה זו נותנת לנו את המוצר הצלב בצורת קואורדינטות.

נוח לייצג את המכפלה הווקטורית כדטרמיננטה של ​​מטריצה ​​מרובעת מסדר שלישי, שהשורה הראשונה שלה היא הוקטורים, השורה השנייה מכילה את הקואורדינטות של הווקטור, והשלישית מכילה את הקואורדינטות של הווקטור בנתון. מערכת קואורדינטות מלבנית:

אם נרחיב את הקובע הזה למרכיבי השורה הראשונה, נקבל את השוויון מהגדרת המכפלה הווקטורית בקואורדינטות (במידת הצורך, עיין במאמר):

יש לציין כי צורת הקואורדינטות של התוצר הווקטורי תואמת לחלוטין את ההגדרה שניתנה בפסקה הראשונה של מאמר זה. יתר על כן, שתי ההגדרות הללו של מוצר צולב שוות ערך. אתה יכול לראות את ההוכחה לעובדה זו בספר המופיע בסוף המאמר.

מאפיינים של מוצר וקטור.

מכיוון שניתן לייצג את המכפלה הווקטורית בקואורדינטות כדטרמיננטה של ​​המטריצה, ניתן בקלות להצדיק את הדברים הבאים על בסיס תכונות של המוצר הצלב:

כדוגמה, הבה נוכיח את התכונה האנטי-קומוטטיבית של תוצר וקטור.

א-קדמורי ו . אנו יודעים שהערך של הקובע של מטריצה ​​הפוך אם שתי שורות מוחלפות, לכן, , המוכיח את התכונה האנטי-קומוטטיבית של תוצר וקטור.

מוצר וקטור - דוגמאות ופתרונות.

יש בעיקר שלושה סוגים של בעיות.

בבעיות מהסוג הראשון ניתנים אורכי שני וקטורים והזווית ביניהם, וצריך למצוא את אורך המכפלה הווקטורית. במקרה זה, הנוסחה משמשת .

דוגמא.

מצא את אורך המכפלה הווקטורית של הוקטורים ו, ​​אם ידוע .

פִּתָרוֹן.

אנו יודעים מההגדרה שאורך המכפלה הווקטורית של וקטורים ושווה למכפלת אורכי הוקטורים ולפי הסינוס של הזווית ביניהם, לכן, .

תשובה:

.

בעיות מהסוג השני קשורות לקואורדינטות של וקטורים, שבהן מחפשים את המכפלה הווקטורית, אורכו או כל דבר אחר דרך הקואורדינטות של וקטורים נתונים. ו .

יש כאן הרבה אפשרויות שונות. לדוגמה, לא את הקואורדינטות של הוקטורים וניתן לציין אותם, אלא הרחבות שלהם לקואורדינטות של וקטורים של הצורה ו , או וקטורים וניתן לציין אותם על ידי הקואורדינטות של נקודות ההתחלה והסיום שלהם.

בואו נסתכל על דוגמאות טיפוסיות.

דוגמא.

שני וקטורים ניתנים במערכת קואורדינטות מלבנית . מצא את מוצר הצלב שלהם.

פִּתָרוֹן.

לפי ההגדרה השנייה, המכפלה הווקטורית של שני וקטורים בקואורדינטות נכתבת כך:

היינו מגיעים לאותה תוצאה אם ​​המכפלה הווקטורית הייתה נכתבת במונחים של הקובע

תשובה:

.

דוגמא.

מצא את אורך המכפלה הווקטורית של הוקטורים ו, ​​היכן הם וקטורי היחידה של מערכת הקואורדינטות הקרטזית המלבנית.

פִּתָרוֹן.

ראשית נמצא את הקואורדינטות של המכפלה הווקטורית במערכת קואורדינטות מלבנית נתונה.

מכיוון שלווקטורים ויש להם קואורדינטות ובהתאמה (במידת הצורך, ראה קואורדינטות המאמר של וקטור במערכת קואורדינטות מלבנית), אז לפי ההגדרה השנייה של מכפלה וקטורית יש לנו

כלומר, התוצר הווקטורי יש קואורדינטות במערכת קואורדינטות נתונה.

נמצא את אורך מכפלת וקטור כשורש ריבועי של סכום ריבועי הקואורדינטות שלו (קיבלנו את הנוסחה הזו לאורכו של וקטור בסעיף מציאת אורך וקטור):

תשובה:

.

דוגמא.

במערכת קואורדינטות קרטזית מלבנית, ניתנות הקואורדינטות של שלוש נקודות. מצא איזה וקטור שהוא מאונך ובאותו הזמן.

פִּתָרוֹן.

וקטורים ויש להם קואורדינטות ובהתאמה (ראה מאמר מציאת קואורדינטות של וקטור דרך קואורדינטות של נקודות). אם נמצא את המכפלה הווקטורית של הוקטורים ו, ​​אז בהגדרה זה וקטור מאונך גם ל וגם ל, כלומר, זה פתרון לבעיה שלנו. בוא נמצא אותו

תשובה:

- אחד מהווקטורים הניצבים.

בבעיות מהסוג השלישי נבדקת מיומנות השימוש במאפייני המכפלה הווקטורית של וקטורים. לאחר החלת המאפיינים, הנוסחאות המתאימות מוחלות.

דוגמא.

הוקטורים ו-מאונכים ואורכם 3 ו-4, בהתאמה. מצא את אורך המוצר הצלב .

פִּתָרוֹן.

לפי התכונה ההפצה של מוצר וקטור, אנחנו יכולים לכתוב

בשל התכונה השילובית, אנו מוציאים את המקדמים המספריים מהסימן של המוצרים הווקטוריים בביטוי האחרון:

הווקטור מוצרים ושווים לאפס, שכן ו , לאחר מכן .

מכיוון שהמוצר הווקטורי הוא אנטי-קומוטטיבי, אז .

אז, באמצעות המאפיינים של המוצר הווקטור, הגענו לשוויון .

לפי תנאי, הווקטורים והמאונכים, כלומר, הזווית ביניהם שווה ל. כלומר, יש לנו את כל הנתונים כדי למצוא את האורך הנדרש

תשובה:

.

משמעות גיאומטרית של מוצר וקטור.

בהגדרה, אורך המכפלה הווקטורית של וקטורים הוא . ומקורס גיאומטריה בתיכון אנו יודעים ששטחו של משולש שווה למחצית המכפלה של אורכי שתי צלעות המשולש והסינוס של הזווית ביניהן. כתוצאה מכך, אורך המכפלה הווקטורית שווה פי שניים משטחו של משולש שצלעותיו הן הווקטורים ואם הם משורטטים מנקודה אחת. במילים אחרות, אורך המכפלה הווקטורית של וקטורים ושווה לשטח מקבילית עם צלעות ו והזווית ביניהן שווה ל. זוהי המשמעות הגאומטרית של התוצר הווקטורי.