בדוק שהקווים נמצאים באותו מישור. מיקום יחסי של קווים

בשיעור זה נסקור את העקרונות הבסיסיים של התיאוריה ונפתור בעיות מורכבות יותר בנושא "מקביליות של קווים ומישורים".
בתחילת השיעור נזכור את ההגדרה של ישר מקביל למישור ואת המשפט המציין את ההקבלה של ישר ומישור. נזכיר גם את ההגדרה של מישורים מקבילים ואת המשפט להקבלה של מישורים. לאחר מכן, נזכיר את ההגדרה של קווי הטיה ואת מבחן המשפט של קווי הטיה, וכן את המשפט לפיו דרך כל אחד מקווי ההטיה ניתן לצייר מישור מקביל לישר אחר. הבה נסיק מסקנה ממשפט זה - האמירה ששני קווי הטיה תואמים זוג בודד של מישורים מקבילים.
בשלב הבא נפתור כמה בעיות מורכבות יותר באמצעות התיאוריה החוזרת.

נושא: מקביליות של קווים ומישורים

שיעור: סקירת תיאוריה. פתרון בעיות מורכבות יותר בנושא "מקביליות של קווים ומטוסים"

בשיעור זה נסקור את העקרונות הבסיסיים של התיאוריה ונפתור בעיות מורכבות יותר בנושא "מקביליות של קווים ומטוסים".

הַגדָרָה.ישר ומישור נקראים מקבילים אם אין להם נקודות משותפות.

אם קו שאינו מונח במישור נתון מקביל לקו כלשהו השוכן במישור זה, אז הוא מקביל למישור הנתון.

תן קו ישר אומטוס (איור 1). קו ישר נמצא במטוס ב, שהוא מקביל לקו א. מקבילות של קווים או במכאן נובע שהקו מקביל אומטוסים.

1. גיאומטריה. כיתות י'-י"א: ספר לימוד לתלמידי מוסדות חינוך כלליים (רמות בסיסיות ומתמחות) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - מהדורה 5, מתוקנת והרחבה - מ.: מנמוסינה, 2008. - 288 עמ': ill.

משימות 9, 10 עמ' 23

2. שלושה קווים מצטלבים בזוגות. האם כל מישור יכול להיות מקביל לכל הקווים הללו?

3. דרך נקודה M ניתן לצייר רק קו ישר אחד במקביל למישורים α ו-β. האם המטוסים הללו מקבילים?

4. לשני טרפזים יש קו אמצע משותף. מישור α עובר דרך הבסיסים הקטנים יותר של הטרפזים, ומישור ה-β עובר דרך הבסיסים הגדולים יותר של הטרפזים. האם המישורים α ו-β מקבילים?

5. א ב ג ד- מרובע. נקודה M שוכנת מחוץ למישור שלה. האם נקודות האמצע של הקטעים נמצאות באותו מישור? MA, MV, MS, Mד?

קווים ישרים נמצאים באותו מישור. אם הם 1) מצטלבים; 2) מקבילים.

שהקווים L 1: ו-L 2: יהיו שייכים לאותו מישור  כך שהווקטורים M 1 M 2 =(x 2 -x 1 ;y 2 -y 1 ;z 2 -z 1 ), ש 1 =(l 1 ;m 1 ;n 1 ) ו ש 2 =(l 2 ;m 2 ;n 2 ) היו קו מישוריים. כלומר, לפי תנאי הקומפלאריות של שלושה וקטורים, התוצר המעורב M 1 M 2 ·ס 1 ·ס 2 =Δ==0 (8)

כי לתנאי המקבילות של שני ישרים יש את הצורה: ואז לחתוך של ישרים L 1 ו-L 2 , כך שהם יעמדו בתנאי (8) וכך לפחות אחת מהפרופורציות תופר.

דוגמא. חקור את המיקומים היחסיים של קווים:

וקטור כיוון של קו ישר L 1 – ש 1 =(1;3;-2). קו L 2 מוגדר כחתך של 2 מישורים α 1: x-y-z+1=0; α 2: x+y+2z-2=0. כי קו L 2 נמצא בשני המישורים, אז הוא, ולכן וקטור הכיוון שלו, מאונך לנורמלים נ 1 ו נ 2 . לכן, וקטור הכיוון ס 2 הוא מכפלה צולבת של וקטורים נ 1 ו נ 2 , כלומר ש 2 =נ 1 איקס נ 2 ==-אני-3י+2ק.

זֶה. ס 1 =-ס 2 , המשמעות היא שהקווים מקבילים או מקבילים.

כדי לבדוק אם הקווים הישרים חופפים, נחליף את הקואורדינטות של הנקודה M 0 (1;2;-1)L 1 במשוואות הכלליות L 2: 1-2+2+1=0 - שוויון שגוי, כלומר. נקודה M 0 L 2,

לכן הקווים מקבילים.

מרחק מנקודה לקו.

המרחק מנקודה M 1 (x 1;y 1;z 1) לישר L, שניתן על ידי המשוואה הקנונית L: ניתן לחשב באמצעות המכפלה הווקטורית.

מהמשוואה הקנונית של הישר עולה כי הנקודה M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L, ווקטור הכיוון של הישר ש=(l;m;n)

בואו נבנה מקבילית באמצעות וקטורים שו M 0 M 1 . אז המרחק מנקודה M 1 לישר L שווה לגובה h של מקבילית זו. כי S=| שאיקס M 0 M 1 |=h| ש|, אז

h= (9)

המרחק בין שני קווים ישרים במרחב.

L 1: ו-L 2:

1) L 1 L 2 .

ד=

2) L 1 ו-L 2 – מעבר

ד=

המיקום היחסי של קו ישר ומישור במרחב.

למיקום של קו ישר ומישור בחלל, 3 מקרים אפשריים:

קו ישר ומישור מצטלבים בנקודה אחת;

הקו הישר והמישור מקבילים;

הקו הישר נמצא במישור.

תנו לקו הישר להיות נתון על ידי המשוואה הקנונית שלו, והמישור - על ידי הכללי

α: Ах+Бу+Сz+D=0

משוואות הישר נותנות את הנקודה M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0)L ואת וקטור הכיוון ש=(l;m;n), ומשוואת המישור היא וקטור נורמלי נ=(A;B;C).

1. חיתוך של קו ומישור.

אם ישר ומישור מצטלבים, אזי וקטור הכיוון של הישר שאינו מקביל למישור α, ולכן אינו אורתוגונלי לווקטור הנורמלי של המישור נ.הָהֵן. מוצר הנקודה שלהם נש≠0 או, דרך הקואורדינטות שלהם,

Am+Bn+Cp≠0 (10)

בואו נקבע את הקואורדינטות של נקודה M - נקודות חיתוך של הישר L והמישור α.

נעבור מהמשוואה הקנונית של הישר לפרמטרית: , tR

הבה נחליף את היחסים הללו במשוואת המישור

A(x 0 +lt)+B(y 0 +mt)+C(z 0 +nt)+D=0

A,B,C,D,l,m,n,x 0 ,y 0 ,z 0 - ידועים, בוא נמצא את הפרמטר t:

t(Al+Bm+Cn)= -D-Ax 0 -By 0 -Cz 0

אם Am+Bn+Cp≠0, אז למשוואה יש פתרון ייחודי שקובע את הקואורדינטות של נקודה M:

t M = -→ (11)

הזווית בין קו ישר למישור. תנאים של מקבילות וניצב.

זווית φ בין הישר L :

עם וקטור מדריך ש=(l;m;n) ומטוס

: Ах+Ву+Сz+D=0 עם וקטור רגיל נ=(A;B;C) נע בין 0˚ (במקרה של קו ומישור מקבילים) ל-90˚ (במקרה של קו ומישור מאונכים). (הזווית בין הווקטור שוהקרנתו על המישור α).

 – זווית בין וקטורים שו נ.

כי הזווית  בין הישר L למישור  משלימה לזווית , ואז sin φ=sin(-)=cos =- (הערך המוחלט נחשב מכיוון שהזווית φ היא sin חריפה φ=sin( -) או sin φ =sin(+) בהתאם לכיוון הישר L)

פרק ד'. קווים ישרים ומישורים בחלל. פוליהדרה

§ 46. סידור קווים הדדי במרחב

בחלל, שני קווים שונים עשויים להיות או לא נמצאים באותו מישור. בואו נסתכל על דוגמאות רלוונטיות.

תנו לנקודות A, B, C לא לשכב על אותו קו ישר. בואו נצייר דרכם מישור רולבחור איזו נקודה S שאינה שייכת למישור ר(איור 130).

אז ישרים AB ו-BC נמצאים באותו מישור, כלומר במישור ר, קווים ישרים AS ו-CB אינם נמצאים באותו מישור. ואכן, אם הם היו מונחים באותו מישור, אז גם נקודות A, B, C, S היו שוכנות במישור הזה, וזה בלתי אפשרי, שכן S אינו שוכן במישור העובר בנקודות A, B, C.

שני ישרים שונים השוכנים באותו מישור ואינם מצטלבים נקראים מקבילים. קווים חופפים נקראים גם מקבילים. אם ישר 1 1 ו 1 2 מקבילים, ואז כתוב 1 1 || 1 2 .

לכן, 1 1 || 1 2 אם, ראשית, יש מטוס רכך ש
1 1 רו 1 2 רושנית, או 1 1 1 2 = או 1 1 = 1 2 .

שני קווים ישרים שאינם נמצאים באותו מישור נקראים קווי הטיה. ברור כי קווים מצטלבים אינם נחתכים ואינם מקבילים.

הבה נוכיח תכונה אחת חשובה של קווים מקבילים, הנקראת טרנזיטיביות של מקביליות.

מִשׁפָּט. אם שני קווים מקבילים לשלישי, אז הם מקבילים זה לזה.

לתת 1 1 || 1 2 ו 1 2 || 1 3. יש צורך להוכיח זאת 1 1 || 1 3

אם ישר 1 1 , 1 2 , 1 3 שוכבים באותו מישור, אז ההצהרה הזו מוכחת בפלנימטריה. נניח כי קווים ישרים 1 1 , 1 2 , 1 3 לא שוכבים באותו מישור.

דרך קווים ישרים 1 1 ו 1 2 צייר מטוס ר 1, ודרך 1 2 ו 1 3 - מטוס ר 2 (איור 131).

שימו לב שהקו הישר 1 3 מכיל לפחות נקודה M אחת שאינה שייכת למישור
ר 1 .

צייר מישור דרך הקו הישר והצביע על M ר 3, אשר חוצה את המטוס ר 2 לאורך איזה קו ישר ל. בואו נוכיח את זה לעולה בקנה אחד עם 1 3. נוכיח זאת "בסתירה".

בואו נניח שהקו הישר 1 אינו חופף לקו ישר 1 3. לאחר מכן 1 חוצה קו 1 2 בשלב מסוים A. מכאן נובע שהמטוס ר 3 עובר דרך נקודה A ר 1 וישר 1 1 ר 1 ולכן עולה בקנה אחד עם המטוס ר 1 . מסקנה זו סותרת את העובדה שנקודה מ' ר 3 לא שייך למטוס ר 1 .
לכן, ההנחה שלנו שגויה, ולכן 1 = 1 3 .

לפיכך, הוכח כי קווים ישרים 1 1 ו 1 3 שוכבים באותו מישור ר 3. הבה נוכיח כי הקווים הישרים 1 1 ו 1 3 לא מצטלבים.

אכן, אם 1 1 ו 1 3 הצטלבו, למשל, בנקודה B, ואז המטוס ר 2 יעבור בקו ישר 1 2 ודרך נקודה ב' 1 1 ולפיכך יתאים ל ר 1, וזה בלתי אפשרי.

מְשִׁימָה.הוכיחו שלזוויות עם צלעות קו-כיווניות יש ממדים שווים.

תנו לזוויות MAN ו-M 1 A 1 N 1 צלעות קו-כיווניות: קרן AM מכוונת עם קרן A 1 M 1, וקרן AN מכוונת עם קרן A 1 N 1 (איור 132).

על הקרניים AM ו-A 1 M 1 נפרוס מקטעים AB ו-A 1 B 1 שווים באורכם. לאחר מכן

|| ו |BB 1 | = |AA 1 |

כמו צלעות מנוגדות של מקבילית.

באופן דומה, על הקרניים AN ו-A 1 N 1 נשרטט קטעים AC ו-A 1 C 1 שווים באורכם. לאחר מכן

|| ו |CC 1 | = |AA 1 |

מהטרנזיטיביות של מקביליות עולה כי || . ומאז |BB 1 | = |CC 1 | , אז BB 1 C 1 C היא מקבילית, ולכן |BC| = |B 1 C 1 |.
לָכֵן, /\ א ב ג /\ A 1 B 1 C 1 ו.

עבור שני קווים במרחב, ארבעה מקרים אפשריים:

הקווים הישרים חופפים;

הקווים מקבילים (אך אינם חופפים);

קווים מצטלבים;

קווים ישרים חוצים, כלומר. אין להם נקודות משותפות ואינן מקבילות.

הבה נבחן שתי דרכים לתיאור קווים ישרים: משוואות קנוניות ומשוואות כלליות. תנו ליווי L 1 ו-L 2 ניתנים במשוואות קנוניות:

L 1: (x - x 1)/l 1 = (y - y 1)/m 1 = (z - z 1)/n 1, L 2: (x - x 2)/l 2 = (y - y 2)/m 2 = (z - z 2)/n 2 (6.9)

עבור כל קו מהמשוואות הקנוניות שלו אנו קובעים מיד את הנקודה עליו M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2 ; y 2​; z 2) ∈ L 2 ואת הקואורדינטות של וקטורי הכיוון s 1 = (l 1; m 1; n 1) עבור L 1, s 2 = (l 2; m 2; n 2) עבור L 2.

אם הקווים חופפים או מקבילים, אזי וקטורי הכיוון שלהם s 1 ו- s 2 הם קולינאריים, וזה שווה ערך לשוויון היחסים של הקואורדינטות של הוקטורים האלה:

l 1 /l 2 = m 1 /m 2 = n 1 /n 2. (6.10)

אם הקווים חופפים, אז הווקטור M 1 M 2 הוא קולינארי לוקטורי הכיוון:

(x 2 - x 1)/l 1 = (y 2 - y 1)/m 1 = (z 2 - z 1)/n 1. (6.11)

השוויון הכפול הזה אומר גם שהנקודה M 2 שייכת לישר L 1. כתוצאה מכך, התנאי להתאמה בין הקווים הוא לקיים שוויון (6.10) ו- (6.11) בו זמנית.

אם הקווים מצטלבים או חוצים, אז וקטורי הכיוון שלהם אינם קולינאריים, כלומר. התנאי (6.10) מופר. קווים מצטלבים נמצאים באותו מישור, ולכן, וקטורים s 1, s 2 ו-M 1 M 2 הם coplanarקובע מסדר שלישי, המורכב מהקואורדינטות שלהם (ראה 3.2):

תנאי (6.12) מתקיים בשלושה מתוך ארבעה מקרים, שכן עבור Δ ≠ 0 הקווים אינם שייכים לאותו מישור ולכן נחתכים.

בואו נחבר את כל התנאים יחד:

המיקום היחסי של הקווים מאופיין במספר הפתרונות של המערכת (6.13). אם הקווים חופפים, אז למערכת יש אינסוף פתרונות. אם הקווים מצטלבים, אז למערכת הזו יש פתרון ייחודי. במקרה של מקביל או חצייה, אין פתרונות ישירים. ניתן להפריד בין שני המקרים האחרונים על ידי מציאת וקטורי הכיוון של הקווים. כדי לעשות זאת, זה מספיק כדי לחשב שניים יצירות אמנות וקטוריות n 1 × n 2 ו-n 3 × n 4, כאשר n i = (A i; B i; C i), i = 1, 2, 3,4. אם הוקטורים המתקבלים הם קולינאריים, אז הקווים הנתונים מקבילים. אחרת הם מתרבים זה בזה.

דוגמה 6.4.

וקטור הכיוון s 1 של הישר L 1 נמצא באמצעות המשוואות הקנוניות של הישר הזה: s 1 = (1; 3; -2). וקטור הכיוון s 2 של הישר L 2 מחושב באמצעות המכפלה הווקטורית של הווקטורים הנורמליים של המישורים שהוא חיתוך ביניהם:

מכיוון ש s 1 = -s 2, אז הקווים מקבילים או חופפים. הבה נגלה איזה מהמצבים הללו מתממש עבור שורות אלה. לשם כך, נחליף את הקואורדינטות של הנקודה M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 במשוואות הכלליות של הישר L 2 . עבור הראשון שבהם נקבל 1 = 0. כתוצאה מכך, הנקודה M 0 אינה שייכת לישר L 2 והקווים הנבדקים מקבילים.

זווית בין קווים ישרים. ניתן למצוא את הזווית בין שני קווים ישרים באמצעות וקטורי כיווןיָשָׁר הזווית החדה בין קווים ישרים שווה לזווית בין וקטורי הכיוון שלהם (איור 6.5) או שהיא נוספת לה אם הזווית בין וקטורי הכיוון קהה. לפיכך, אם עבור קווים L 1 ו-L 2 ידועים וקטורי הכיוון שלהם s x ו-s 2, אזי הזווית החדה φ בין הקווים הללו נקבעת באמצעות המכפלה הסקלרית:

cosφ = |S 1 S 2 |/|S 1 ||S 2 |

לדוגמה, תנו s i = (l i ; m i ; n i ), i = 1, 2. שימוש בנוסחאות (2.9) ו-(2.14) לחישוב אורך וקטורומוצר סקלרי בקואורדינטות, אנחנו מקבלים

מאמר זה עוסק בקווים מקבילים וקווים מקבילים. ראשית, ניתנת ההגדרה של קווים מקבילים במישור ובמרחב, מובאות סימונים, מובאות דוגמאות והמחשות גרפיות של קווים מקבילים. לאחר מכן, נדונים הסימנים והתנאים להקבלה של קווים. לסיכום, מוצגים פתרונות לבעיות אופייניות של הוכחת הקבילות של ישרים, הניתנות על ידי משוואות מסוימות של ישר במערכת קואורדינטות מלבנית במישור ובמרחב תלת מימדי.

ניווט בדף.

קווים מקבילים - מידע בסיסי.

הַגדָרָה.

שני קווים במישור נקראים מַקְבִּיל, אם אין להם נקודות משותפות.

הַגדָרָה.

שני קווים במרחב תלת מימדי נקראים מַקְבִּיל, אם הם שוכבים באותו מישור ואין להם נקודות משותפות.

שימו לב שהסעיף "אם הם שוכבים באותו מישור" בהגדרת קווים מקבילים במרחב חשוב מאוד. הבה נבהיר את הנקודה הזו: שני קווים במרחב התלת מימדי שאין להם נקודות משותפות ואינם שוכנים באותו מישור אינם מקבילים, אלא מצטלבים.

הנה כמה דוגמאות של קווים מקבילים. הקצוות הנגדיים של דף המחברת נמצאים על קווים מקבילים. הקווים הישרים שלאורכם חוצה מישור קיר הבית את מישורי התקרה והרצפה מקבילים. מסילות רכבת על קרקע מישור יכולות להיחשב גם כקווים מקבילים.

כדי לציין קווים מקבילים, השתמש בסמל "". כלומר, אם השורות a ו-b מקבילות, אז נוכל לכתוב בקצרה a b.

שימו לב: אם הקווים a ו-b מקבילים, אז אפשר לומר שישר a מקביל לישר b, וגם הישר b מקביל לישר a.

הבה נשמיע אמירה שמשחקת תפקיד חשוב בחקר קווים מקבילים במישור: דרך נקודה שאינה שוכנת על קו נתון, עובר הישר היחיד המקביל לזה הנתון. קביעה זו מתקבלת כעובדה (לא ניתן להוכיחה על בסיס האקסיומות הידועות של הפלנימטריה), והיא נקראת אקסיומה של קווים מקבילים.

למקרה במרחב, המשפט תקף: דרך כל נקודה במרחב שאינה שוכנת על ישר נתון, עובר ישר בודד במקביל לזה הנתון. משפט זה מוכח בקלות באמצעות האקסיומה לעיל של קווים מקבילים (אתה יכול למצוא את ההוכחה שלו בספר הלימוד בגיאומטריה לכיתות י'-י"א, המופיע בסוף המאמר ברשימת ההפניות).

למקרה במרחב, המשפט תקף: דרך כל נקודה במרחב שאינה שוכנת על ישר נתון, עובר ישר בודד במקביל לזה הנתון. ניתן להוכיח משפט זה בקלות באמצעות אקסיומת הקו המקביל לעיל.

מקביליות של קווים - סימנים ותנאי מקבילות.

סימן של מקבילות של קוויםהוא תנאי מספיק כדי שהקווים יהיו מקבילים, כלומר תנאי שהתקיימותו מבטיחה שהקווים יהיו מקבילים. במילים אחרות, די בקיום תנאי זה כדי לקבוע את העובדה שהקווים מקבילים.

ישנם גם תנאים הכרחיים ומספיקים להקבלה של קווים במישור ובמרחב תלת מימדי.

הבה נסביר את משמעות הביטוי "תנאי הכרחי ומספיק לקווים מקבילים".

כבר עסקנו בתנאי המספיק לקווים מקבילים. מהו "תנאי הכרחי לקווים מקבילים"? מהשם "הכרחי" ברור כי מילוי תנאי זה הכרחי לקווים מקבילים. במילים אחרות, אם לא מתקיים התנאי ההכרחי לכך שהקווים יהיו מקבילים, הרי שהקווים אינם מקבילים. לכן, תנאי הכרחי ומספיק לקווים מקביליםהוא תנאי שמילויו הוא גם הכרחי וגם מספיק עבור קווים מקבילים. כלומר, מצד אחד, זהו סימן להקבלה של קווים, ומצד שני, זו תכונה שיש לקווים מקבילים.

לפני ניסוח תנאי הכרחי ומספיק להקבלת קווים, רצוי להיזכר במספר הגדרות עזר.

קו סקאנטהוא קו החותך כל אחד משני קווים נתונים שאינם חופפים.

כאשר שני קווים ישרים מצטלבים עם רוחב, נוצרים שמונה לא מפותחים. בניסוח התנאי ההכרחי והמספיק להקבלה של קווים, מה שנקרא שוכב לרוחב, מקבילו זוויות חד צדדיות. בואו נראה אותם בציור.

מִשׁפָּט.

אם שני ישרים במישור נחתכים על ידי רוחב, אז כדי שהם יהיו מקבילים יש צורך ומספיק שהזוויות החותכות יהיו שוות, או שהזוויות המתאימות שוות, או שסכום הזוויות החד-צדדיות שווה ל-180 מעלות.

הבה נראה המחשה גרפית של תנאי הכרחי ומספיק זה להקבלה של קווים במישור.

ניתן למצוא הוכחות לתנאים אלו להקבלת קווים בספרי לימוד גיאומטריה לכיתות ז'-ט'.

שימו לב שניתן להשתמש בתנאים הללו גם במרחב תלת מימדי – העיקר ששני הקווים הישרים והסקאנט נמצאים באותו מישור.

הנה עוד כמה משפטים המשמשים לעתים קרובות כדי להוכיח את ההקבלה של קווים.

מִשׁפָּט.

אם שני קווים במישור מקבילים לישר שלישי, אז הם מקבילים. ההוכחה של קריטריון זה נובעת מאקסיומה של קווים מקבילים.

יש מצב דומה לקווים מקבילים במרחב תלת מימדי.

מִשׁפָּט.

אם שני ישרים במרחב מקבילים לישר שלישי, אז הם מקבילים. ההוכחה של קריטריון זה נדונה בשיעורי גיאומטריה בכיתה י'.

הבה נמחיש את המשפטים המוצהרים.

הבה נציג משפט נוסף המאפשר לנו להוכיח את ההקבלה של ישרים במישור.

מִשׁפָּט.

אם שני קווים במישור מאונכים לישר שלישי, אז הם מקבילים.

יש משפט דומה ליווים במרחב.

מִשׁפָּט.

אם שני קווים במרחב התלת מימדי מאונכים לאותו מישור, אז הם מקבילים.

הבה נצייר תמונות התואמות למשפטים אלה.

כל המשפטים, הקריטריונים והתנאים ההכרחיים והמספיקים שנוסחו לעיל מצוינים להוכחת ההקבלה של ישרים בשיטות הגיאומטריה. כלומר, כדי להוכיח את ההקבלה של שני קווים נתונים, צריך להראות שהם מקבילים לישר שלישי, או להראות שוויון של זוויות שוכבות חוצות וכו'. בעיות דומות רבות נפתרות בשיעורי גיאומטריה בתיכון. עם זאת, יש לציין שבמקרים רבים נוח להשתמש בשיטת הקואורדינטות כדי להוכיח את ההקבלה של קווים במישור או במרחב תלת מימדי. הבה ננסח את התנאים הדרושים והמספיקים להקבלה של קווים המצוינים במערכת קואורדינטות מלבנית.

מקביליות של קווים במערכת קואורדינטות מלבנית.

בפסקה זו של המאמר ננסח תנאים הכרחיים ומספיקים לקווים מקביליםבמערכת קואורדינטות מלבנית, בהתאם לסוג המשוואות המגדירים קווים אלו, וכן נספק פתרונות מפורטים לבעיות אופייניות.

נתחיל בתנאי המקבילות של שני ישרים במישור במערכת הקואורדינטות המלבנית Oxy. ההוכחה שלו מבוססת על הגדרת וקטור הכיוון של ישר והגדרת הווקטור הנורמלי של ישר במישור.

מִשׁפָּט.

כדי ששני ישרים לא חופפים יהיו מקבילים במישור, יש צורך ומספיק שווקטורי הכיוון של ישרים אלה יהיו קולינאריים, או שהווקטורים הנורמליים של קווים אלה הם קולינאריים, או שווקטור הכיוון של ישר אחד מאונך לנורמלי. וקטור של השורה השנייה.

ברור שמצב ההקבלה של שני קווים במישור מצטמצם ל- (וקטורי כיוון של קווים או וקטורים נורמליים של קווים) או ל- (וקטור כיוון של ישר אחד ווקטור נורמלי של הישר השני). לפיכך, אם והם וקטורי כיוון של קווים a ו-b, ו ו הם וקטורים נורמליים של שורות a ו-b, בהתאמה, אז התנאי ההכרחי והמספיק להקבלה של שורות a ו-b ייכתב כ , או , או , כאשר t הוא מספר ממשי כלשהו. בתורו, הקואורדינטות של המדריכים ו(או) הוקטורים הנורמליים של קווים a ו-b נמצאות באמצעות משוואות הקווים הידועות.

בפרט, אם ישר a במערכת הקואורדינטות המלבנית אוקסי במישור מגדיר משוואת ישר כללית של הצורה , וקו ישר b - , אזי לוקטורים הנורמליים של קווים אלה יש קואורדינטות ובהתאמה, והתנאי להקבלה של קווים a ו-b ייכתב כ.

אם ישר a מתאים למשוואה של ישר עם מקדם זוויתי של הצורה , וקו b - , אזי לוקטורים הנורמליים של ישרים אלה יש קואורדינטות ו , והתנאי להקבלה של ישרים אלה מקבל את הצורה . כתוצאה מכך, אם ישרים במישור במערכת קואורדינטות מלבנית הם מקבילים וניתן לציין אותם על ידי משוואות של ישרים עם מקדמים זוויתיים, אז המקדמי הזוויתי של הקווים יהיו שווים. ולהיפך: אם ניתן לציין ישרים לא חופפים במישור במערכת קואורדינטות מלבנית על ידי משוואות של ישר עם מקדמים זוויתיים שווים, אז ישרים כאלה מקבילים.

אם ישר a וקו b במערכת קואורדינטות מלבנית נקבעים על ידי המשוואות הקנוניות של ישר במישור הצורה ו , או משוואות פרמטריות של קו ישר במישור הצורה ו בהתאם לכך, לוקטורי הכיוון של קווים אלה יש קואורדינטות ו , והתנאי להקבלה של קווים a ו-b נכתב כ .

בואו נסתכל על פתרונות למספר דוגמאות.

דוגמא.

האם הקווים מקבילים? ו?

פִּתָרוֹן.

נכתוב מחדש את המשוואה של ישר בקטעים בצורה של משוואה כללית של ישר: . כעת אנו יכולים לראות שזה הווקטור הנורמלי של הקו , a הוא הווקטור הנורמלי של הקו. וקטורים אלה אינם קולינאריים, מכיוון שאין מספר ממשי t שעבורו השוויון ( ). כתוצאה מכך, התנאי ההכרחי והמספיק להקבלה של קווים במישור אינו מתקיים, ולכן, הקווים הנתונים אינם מקבילים.

תשובה:

לא, הקווים אינם מקבילים.

דוגמא.

האם ישרים ומקבילים?

פִּתָרוֹן.

הבה נצמצם את המשוואה הקנונית של ישר למשוואה של ישר עם מקדם זוויתי:. ברור שמשוואות הקווים אינן זהות (במקרה זה, הקווים הנתונים יהיו זהים) ומקדמי הזווית של הקווים שווים, לכן, הקווים המקוריים מקבילים.