מציאת קבוצת ערכי הפונקציה. טווח פונקציות (קבוצה של ערכי פונקציה)

התלות של משתנה אחד באחר נקראת תלות תפקודית.משתנה תלות yממשתנה איקסשקוראים לו פוּנקצִיָה, אם כל ערך איקסתואם ערך בודד y.

יִעוּד:

מִשְׁתַנֶה איקסנקרא המשתנה הבלתי תלוי או טַעֲנָה, והמשתנה y- תלוי. הם אומרים את זה yהוא פונקציה של איקס. מַשְׁמָעוּת y, המתאים לערך שצוין איקס, שקוראים לו ערך פונקציה.

כל הערכים שהוא מקבל איקס, טופס תחום של פונקציה; כל הערכים שצריך y, טופס קבוצה של ערכי פונקציה.

ייעודים:

ד(ו)- ערכי ארגומנט. E(f)- ערכי פונקציה. אם פונקציה ניתנת על ידי נוסחה, אזי תחום ההגדרה נחשב למורכב מכל הערכים של המשתנה שעבורו הנוסחה הזו הגיונית.

גרף פונקציותהוא קבוצת כל הנקודות במישור הקואורדינטות שהאבססיס שלהן שווה לערכי הארגומנט, והאורדינאטות שלהן שוות לערכים התואמים של הפונקציה. אם ערך כלשהו x=x 0מתאים למספר ערכים (לא רק אחד) y, אז התכתבות כזו היא לא פונקציה. כדי שקבוצת נקודות במישור קואורדינטות תהיה גרף של פונקציה מסוימת, יש צורך ומספיק שכל ישר מקביל לציר Oy יחצה את הגרף בנקודה אחת לכל היותר.

שיטות לציון פונקציה

1) ניתן להגדיר פונקציה מבחינה אנליטיתבצורה של נוסחה. לדוגמה,

2) ניתן לציין את הפונקציה על ידי טבלה של זוגות רבים (x; y).

3) ניתן לציין את הפונקציה בצורה גרפית. זוגות ערך (x; y)מתוארים במישור הקואורדינטות.

מונוטוניות של הפונקציה

פוּנקצִיָה f(x)שקוראים לו גָדֵלעל מרווח מספרי נתון, אם ערך גדול יותר של הארגומנט מתאים לערך גדול יותר של הפונקציה. תארו לעצמכם שנקודה מסוימת נעה לאורך הגרף משמאל לימין. ואז נראה שהנקודה "מטפסת" במעלה הגרף.

פוּנקצִיָה f(x)שקוראים לו פּוֹחֵתעל מרווח מספרי נתון, אם ערך גדול יותר של הארגומנט מתאים לערך קטן יותר של הפונקציה. תארו לעצמכם שנקודה מסוימת נעה לאורך הגרף משמאל לימין. אז נראה שהנקודה "מתגלגלת" במורד הגרף.

נקראת פונקציה שרק גדלה או יורדת במרווח מספרי נתון חַדגוֹנִיבמרווח זה.

אפסים של הפונקציה והמרווחים של סימן קבוע

ערכים איקס, באיזה y=0, שקוראים לו אפסים פונקציה. אלו הן האבססיס של נקודות החיתוך של גרף הפונקציות עם ציר השור.

טווחי ערכים כאלה איקס, שעליו ערכי הפונקציה yאו רק חיובי או רק שלילי נקראים מרווחים של סימן קבוע של הפונקציה.

פונקציות זוגיות ומשונות

פונקציה אפילו
1) תחום ההגדרה הוא סימטרי ביחס לנקודה (0; 0), כלומר אם הנקודה אשייך לתחום ההגדרה, ואז הנקודה -אשייך גם לתחום ההגדרה.
2) לכל ערך איקס f(-x)=f(x)
3) הגרף של פונקציה זוגית הוא סימטרי על ציר Oy.

פונקציה אי - זוגיתבעל המאפיינים הבאים:
1) תחום ההגדרה הוא סימטרי לגבי הנקודה (0; 0).
2) לכל ערך איקס, השייך לתחום ההגדרה, השוויון f(-x)=-f(x)
3) הגרף של פונקציה אי-זוגית הוא סימטרי ביחס למקור (0; 0).

לא כל פונקציה זוגית או אי זוגית. פונקציות השקפה כלליתאינם זוגיים ואינם מוזרים.

פונקציות תקופתיות

פוּנקצִיָה ונקרא מחזורי אם יש מספר כזה עבור כל איקסמתחום ההגדרה השוויון f(x)=f(x-T)=f(x+T). טהיא תקופת הפונקציה.

לכל פונקציה מחזורית יש אינסוף נקודות. בפועל, התקופה החיובית הקטנה ביותר נחשבת בדרך כלל.

הערכים של פונקציה מחזורית חוזרים על עצמם לאחר מרווח השווה לתקופה. זה משמש בעת בניית גרפים.

היום בשיעור נפנה לאחד ממושגי היסוד של המתמטיקה – מושג הפונקציה; בואו נסתכל מקרוב על אחד המאפיינים של פונקציה - קבוצת הערכים שלה.

במהלך השיעורים

מוֹרֶה. תוך כדי פתרון בעיות, אנו שמים לב שלפעמים מציאת מערך הערכים של פונקציה מעמיד אותנו במצבים קשים. למה? נראה כי לאחר שלמדנו פונקציה מאז כיתה ז', אנו יודעים עליה לא מעט. לכן, יש לנו את כל הסיבות לעשות מהלך יזום. בואו "לשחק" עם ערכי פונקציות רבים בעצמנו היום כדי לענות על שאלות רבות בנושא זה בבחינה הקרובה.

קבוצות של ערכים של פונקציות יסודיות

מוֹרֶה. ראשית, עליך לחזור על הגרפים, המשוואות וקבוצות הערכים של הפונקציות היסודיות הבסיסיות לאורך כל תחום ההגדרה.

גרפים של פונקציות מוקרנים על המסך: ליניארי, ריבועי, שבר-רציונלי, טריגונומטרי, אקספוננציאלי ולוגריתמי, עבור כל אחד מהם נקבעת קבוצת ערכים בעל פה. הפנה את תשומת לב התלמידים לעובדה שהפונקציה הליניארית E(f) = ראו מספר אחד, עבור שבר ליניארי

זה האלפבית שלנו. על ידי הוספת הידע שלנו על טרנספורמציות גרפים: תרגום מקביל, מתיחה, דחיסה, השתקפות, נוכל לפתור את הבעיות של החלק הראשון בחינת המדינה המאוחדת היא אפילו קצת יותר קשה. בוא נבדוק את זה.

עבודה עצמאית

U מונחי בעיה ומערכות קואורדינטות מודפסים עבור כל תלמיד.

1. מצא את קבוצת ערכי הפונקציה על פני כל תחום ההגדרה:

א) y= 3 חטא איקס ;
ב) y = 7 – 2 איקס ;
V) y= –arccos ( איקס + 5):
ז) y= | arctg איקס |;
ד)

2. מצא את קבוצת ערכי הפונקציה y = איקס 2 ביניהם י, אם:

א) י = ;
ב) י = [–1; 5).

3. הגדר את הפונקציה בצורה אנליטית (באמצעות משוואה), אם קבוצת הערכים שלה היא:

1) ה(ו(איקס)) = (–∞ ; 2] ו ו(איקס) - פונקציה

א) ריבועי,
ב) לוגריתמי,
ג) הפגנתי;

2) ה(ו(איקס)) = ר \{7}.

כאשר דנים במשימה 2עבודה עצמאית, למשוך את תשומת לב התלמידים לעובדה שבמקרה של מונוטוניות והמשכיות של הפונקציה y=ו(איקס)במרווח נתון[א;ב],המשמעויות הרבות שלו-הַפסָקָה,שקצהו הם הערכים של f(א)ו ו(ב).

אפשרויות תשובה למשימה 3.

1.
א) y = –איקס 2 + 2 , y = –(איקס + 18) 2 + 2,
y= א(איקס – איקסג) 2 + 2 בשעה א < 0.

ב) y= –| יומן 8 איקס | + 2,

V) y = –| 3 איקס – 7 | + 2, y = –5 | איקס | + 3.

2.
א) ב)

V) y = 12 – 5איקס, איפה איקס ≠ 1 .

מציאת ערכים מרובים של פונקציה באמצעות נגזרת

מוֹרֶה. בכיתה י' הכרנו את האלגוריתם למציאת הקיצוניות של פונקציה רציפה על קטע ומציאת מערכת הערכים שלה, מבלי להסתמך על גרף הפונקציה. זוכר איך עשינו את זה? ( שימוש בנגזרת.) בואו נזכור את האלגוריתם הזה .

1. ודא את הפונקציה y = ו(איקס) מוגדר ורציף על הקטע י = [א; ב]. 2. מצא את ערכי הפונקציה בקצות הקטע: f(א) ו-f(ב). תגובה. אם אנחנו יודעים שהפונקציה רציפה ומונוטונית פועלת י, אז אתה יכול מיד לענות: ה(ו) = [ו(א); ו(ב)] או ה(ו) = [ו(ב); ו(א)]. 3. מצא את הנגזרת ולאחר מכן את הנקודות הקריטיות x kי. 4. מצא את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות ו(x k). 5. השווה ערכי פונקציות ו(א), ו(ב) ו ו(x k), בחר את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה ותן את התשובה: ה(ו)= [ושֵׁם; ונאיב].

בעיות הכרוכות בשימוש באלגוריתם זה נמצאות בגרסאות של בחינת המדינה המאוחדת. לדוגמה, בשנת 2008 הוצעה משימה כזו. אתה צריך לפתור את זה בתים .

משימה C1.מצא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה

ו(איקס) = (0,5איקס + 1) 4 – 50(0,5איקס + 1) 2

ב | איקס + 1| ≤ 3.

תנאי שיעורי הבית מודפסים עבור כל תלמיד .

מציאת קבוצת הערכים של פונקציה מורכבת

מוֹרֶה. החלק העיקרי של השיעור שלנו יהיה בעיות לא סטנדרטיות המכילות פונקציות מורכבות, שנגזרותיהן הן ביטויים מורכבים מאוד. והגרפים של הפונקציות הללו לא ידועים לנו. לכן, כדי לפתור, נשתמש בהגדרה של פונקציה מורכבת, כלומר, התלות בין משתנים בסדר קינון שלהם בפונקציה נתונה, ואומדן של טווח הערכים שלהם (מרווח השינויים שלהם ערכים). בעיות מסוג זה נמצאות בחלק השני של בחינת המדינה המאוחדת. בואו נסתכל על כמה דוגמאות.

תרגיל 1.עבור פונקציות y = ו(איקס) ו y = ז(איקס) לכתוב פונקציה מורכבת y = ו(ז(איקס)) ומצא את קבוצת הערכים שלו:

א) ו(איקס) = –איקס 2 + 2איקס + 3, ז(איקס) = חטא איקס;
ב) ו(איקס) = –איקס 2 + 2איקס + 3, ז(איקס) = יומן 7 איקס;
V) ז(איקס) = איקס 2 + 1;
ז)

פִּתָרוֹן.א) לפונקציה המורכבת יש את הצורה: y= –חטא 2 איקס+ 2sin איקס + 3.

הצגת טיעון ביניים ט, נוכל לכתוב את הפונקציה הזו כך:

y= –ט 2 + 2ט+ 3, איפה ט= חטא איקס.

בתפקוד הפנימי ט= חטא איקסהארגומנט לוקח ערכים כלשהם, וקבוצת הערכים שלו היא הקטע [–1; 1].

לפיכך, עבור הפונקציה החיצונית y = –ט 2 +2ט+ 3 גילינו את המרווח לשינוי הערכים של הארגומנט שלו ט: ט[-1; 1]. בואו נסתכל על הגרף של הפונקציה y = –ט 2 +2ט + 3.

נציין שהפונקציה הריבועית ב ט[-1; 1] לוקח את הערכים הקטנים והגדולים ביותר בקצותיו: yשם = y(–1) = 0 ו yנאיב = y(1) = 4. ומכיוון שפונקציה זו היא רציפה על המרווח [–1; 1], אז הוא מקבל את כל הערכים שביניהם.

תשובה: y .

ב) ההרכב של פונקציות אלו מוביל אותנו לפונקציה מורכבת אשר לאחר הצגת ארגומנט ביניים, ניתן לייצג אותה באופן הבא:

y= –ט 2 + 2ט+ 3, איפה ט= יומן 7 איקס,

פוּנקצִיָה ט= יומן 7 איקס

איקס (0; +∞ ), ט (–∞ ; +∞ ).

פוּנקצִיָה y = –ט 2 + 2ט+ 3 (ראה גרף) ארגומנט טלוקח ערכים כלשהם, והפונקציה הריבועית עצמה לוקחת את כל הערכים לא יותר מ-4.

תשובה: y (–∞ ; 4].

ג) לפונקציה המורכבת יש את הצורה הבאה:

הצגת טיעון ביניים, נקבל:

איפה ט = איקס 2 + 1.

מאז לתפקיד הפנימי איקס ר , א ט .

תשובה: y (0; 3].

ד) ההרכב של שתי הפונקציות הללו נותן לנו פונקציה מורכבת

שאפשר לכתוב בתור

שים לב ש

ולכן כאשר

איפה ק ז , ט [–1; 0) (0; 1].

על ידי ציור גרף של הפונקציה אנחנו רואים את זה עם הערכים האלה ט

y(–∞ ; –4] c ;

ב) בכל אזור ההגדרה.

פִּתָרוֹן.ראשית, אנו בוחנים פונקציה זו עבור מונוטוניות. פוּנקצִיָה ט= arcctg איקס- מתמשך ויורד ב ר וקבוצת הערכים שלו (0; π). פוּנקצִיָה y= יומן 5 טמוגדר על המרווח (0; π), הוא רציף ועולה עליו. המשמעות היא שהפונקציה המורכבת הזו פוחתת בסט ר . וזה, כהרכב של שתי פונקציות רציפות, יהיה רציף על ר .

בואו נפתור את הבעיה "א".

מכיוון שהפונקציה רציפה על כל קו המספרים, היא רציפה בכל חלק שלה, בפרט, על קטע נתון. ואז בקטע הזה יש לו את הערכים הקטנים והגדולים ביותר ולוקח את כל הערכים ביניהם:

ו(4) = log 5 arcctg 4.

איזה מהערכים המתקבלים גדול יותר? למה? ומה תהיה מערכת הערכים?

תשובה:

בואו נפתור את הבעיה "ב".

תשובה: בְּ-(–∞ ; log 5 π) על כל אזור ההגדרה.

בעיה בפרמטר

כעת ננסה ליצור ולפתור משוואה פשוטה עם פרמטר של הטופס ו(איקס) = א, איפה ו(איקס) - אותה פונקציה כמו במשימה 4.

משימה 5.קבע את מספר השורשים של המשוואה log 5 (arcctg איקס) = אעבור כל ערך פרמטר א.

פִּתָרוֹן.כפי שכבר הראינו במשימה 4, הפונקציה בְּ-= log 5(arcctg איקס) - יורד ונדלק ברציפות ר ולוקח ערכים פחות מ-log 5 π. מידע זה מספיק כדי לתת תשובה.

תשובה:אם א < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

אם א≥ log 5 π, אז אין שורשים.

מוֹרֶה. היום בדקנו בעיות הקשורות למציאת קבוצת הערכים של פונקציה. בדרך זו גילינו שיטה חדשה לפתרון משוואות ואי-שוויון - שיטת האומדן, כך שמציאת קבוצת ערכי הפונקציה הפכה לאמצעי לפתרון בעיות ברמה גבוהה יותר. תוך כדי כך, ראינו כיצד בעיות כאלה בנויות וכיצד תכונות המונוטוניות של פונקציה מקלות על פתרונן.

ואני רוצה לקוות שההיגיון שחיבר בין המשימות שנדונו היום הדהים או לפחות הפתיע אתכם. זה לא יכול להיות אחרת: טיפוס לפסגה חדשה לא משאיר אף אחד אדיש! אנו שמים לב ומעריכים ציורים יפים, פסלים וכו'. אבל למתמטיקה יש גם יופי משלה, מושך ומכושף – יופיו של ההיגיון. מתמטיקאים אומרים שפתרון יפה הוא בדרך כלל פתרון נכון, וזה לא רק ביטוי. עכשיו אתה צריך למצוא פתרונות כאלה בעצמך, וציינו את אחד הדרכים אליהם היום. בהצלחה לך! וזכרו: ההולך ישלוט בדרך!

פונקציה היא אחד המושגים המתמטיים החשובים ביותר.

הגדרה: אם כל מספר מקבוצה מסוימת x משויך למספר יחיד y, אז אומרים שפונקציה y(x) מוגדרת על קבוצה זו. במקרה זה, x נקרא המשתנה הבלתי תלוי או הארגומנט, ו-y נקרא המשתנה התלוי או הערך של פונקציה או פשוט פונקציה.

אומרים שהמשתנה y הוא גם פונקציה של המשתנה x.

לאחר ציון התאמה עם אות, למשל f, נוח לכתוב: y=f (x), כלומר הערך y מתקבל מהארגומנט x באמצעות ההתאמה f. (קרא: y שווה f של x.) הסמל f (x) מציין את ערך הפונקציה המקביל לערך הארגומנט השווה ל-x.

דוגמה 1 תנו לפונקציה להינתן על ידי הנוסחה y=2x 2 –6. אז נוכל לכתוב ש-f(x)=2x 2 –6. בואו נמצא את ערכי הפונקציה עבור ערכים של x השווים, למשל, 1; 2.5;–3; כלומר, נמצא f(1), f(2.5), f(–3):

f(1)=2 1 2 –6=–4;
f(2.5)=2 2.5 2 –6=6.5;
f(–3)=2 (–3) 2 –6= 12.

שימו לב שבסימון הצורה y=f (x) משתמשים באותיות אחרות במקום f: g וכו'.

הגדרה: התחום של פונקציה הוא כל הערכים של x שעבורם הפונקציה קיימת.

אם פונקציה מוגדרת על ידי נוסחה ותחום ההגדרה שלה לא מצוין, אזי תחום ההגדרה של הפונקציה נחשב למורכב מכל ערכי הארגומנט שעבורם הנוסחה הגיונית.

במילים אחרות, התחום של פונקציה הניתנת על ידי נוסחה הוא כל הערכים של הארגומנט למעט אלה שמביאים לפעולות שאיננו יכולים לבצע. כרגע אנחנו יודעים רק שתי פעולות כאלה. אנחנו לא יכולים לחלק באפס ולא נוכל לקחת את השורש הריבועי של מספר שלילי.

הגדרה: כל הערכים שהמשתנה התלוי לוקח יוצרים את הטווח של הפונקציה.

תחום ההגדרה של פונקציה המתארת ​​תהליך אמיתי תלוי בתנאים הספציפיים של התרחשותו. לדוגמה, התלות של אורך l של מוט ברזל בטמפרטורת החימום t מתבטאת בנוסחה, שבה l 0 הוא האורך ההתחלתי של המוט, והוא מקדם ההתפשטות הליניארי. נוסחה זו הגיונית עבור כל ערכים של t. עם זאת, תחום ההגדרה של הפונקציה l=g(t) הוא מרווח של כמה עשרות מעלות, שחוק ההתפשטות הלינארית תקף לגביו.

דוגמא.

ציין את טווח הפונקציות y = arcsinx.

פִּתָרוֹן.

תחום ההגדרה של arcsine הוא הקטע [-1; 1] . בואו נמצא את הערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה בקטע זה.

הנגזרת חיובית לכולם איקסמהמרווח (-1; 1) , כלומר, הפונקציה arcsine גדלה על פני כל תחום ההגדרה. לכן, זה לוקח את הערך הקטן ביותר כאשר x = -1, והכי גדול ב x = 1.

השגנו את הטווח של פונקציית arcsine .

מצא את קבוצת ערכי הפונקציה על הקטע .

פִּתָרוֹן.

בוא נמצא את הערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה בקטע נתון.

הבה נקבע את נקודות הקיצון השייכות למקטע :

לעתים קרובות, כחלק מפתרון בעיות, עלינו לחפש ערכים רבים של פונקציה בתחום ההגדרה או קטע. לדוגמה, יש לעשות זאת בעת פתרון סוגים שונים של אי שוויון, הערכת ביטויים וכו'.

בחומר זה, נספר לכם מהו טווח הערכים של פונקציה, נביא את השיטות העיקריות בהן ניתן לחשב אותה, וננתח בעיות בדרגות מורכבות שונות. למען הבהירות, הוראות בודדות מומחשות באמצעות גרפים. לאחר קריאת מאמר זה, תקבלו הבנה מקיפה של טווח הפונקציה.

נתחיל בהגדרות בסיסיות.

הגדרה 1

קבוצת הערכים של פונקציה y = f (x) במרווח מסוים x היא קבוצת כל הערכים שפונקציה זו לוקחת כאשר היא חוזרת על כל הערכים x ∈ X.

הגדרה 2

טווח הערכים של פונקציה y = f (x) הוא קבוצת כל הערכים שלה שהיא יכולה לקחת בעת חיפוש ערכי x מטווח x ∈ (f).

טווח הערכים של פונקציה מסוימת מסומן בדרך כלל ב-E (f).

שימו לב שהמושג של קבוצת הערכים של פונקציה לא תמיד זהה לטווח הערכים שלה. מושגים אלו יהיו שווים רק אם מרווח הערכים של x בעת מציאת קבוצת ערכים עולה בקנה אחד עם תחום ההגדרה של הפונקציה.

כמו כן, חשוב להבחין בין טווח הערכים לטווח הערכים המקובלים של המשתנה x עבור הביטוי בצד ימין y = f (x). טווח הערכים המותרים x עבור הביטוי f (x) יהיה תחום ההגדרה של פונקציה זו.

להלן איור המציג כמה דוגמאות. קווים כחולים הם גרפי פונקציה, קווים אדומים הם אסימפטוטים, נקודות אדומות וקווים על ציר הסמטה הם טווחי פונקציות.

ברור שניתן לקבל את טווח הערכים של פונקציה על ידי הקרנת הגרף של הפונקציה על ציר O y. יתר על כן, הוא יכול לייצג מספר בודד או קבוצה של מספרים, קטע, מרווח, קרן פתוחה, איחוד של מרווחים מספריים וכו'.

בואו נסתכל על הדרכים העיקריות למצוא את טווח הערכים של פונקציה.

נתחיל בהגדרת קבוצת הערכים של הפונקציה הרציפה y = f (x) על קטע מסוים המסומן [ a ; ב] . אנו יודעים שפונקציה שהיא רציפה על קטע מסוים מגיעה למינימום והמקסימום בו, כלומר ל-m a x x ∈ a הגדול ביותר; b f (x) והערך הקטן ביותר m i n x ∈ a ; b f (x) . זה אומר שנקבל קטע m i n x ∈ a ; bf(x); m a x x ∈ a ; b f (x) , שיכיל את קבוצות הערכים של הפונקציה המקורית. אז כל מה שאנחנו צריכים לעשות הוא למצוא את נקודות המינימום והמקסימום המצוינות בקטע הזה.

בואו ניקח בעיה שבה עלינו לקבוע את טווח ערכי הקשת.

דוגמה 1

מַצָב:מצא את טווח הערכים y = a r c sin x .

פִּתָרוֹן

במקרה הכללי, תחום ההגדרה של הארקסינה ממוקם על הקטע [-1; 1] . עלינו לקבוע את הערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה שצוינה עליו.

y " = a r c sin x " = 1 1 - x 2

אנו יודעים שהנגזרת של הפונקציה תהיה חיובית עבור כל ערכי x הממוקמים במרווח [-1; 1], כלומר, לאורך כל תחום ההגדרה, הפונקציה הקשתית תגדל. זה אומר שהוא ייקח את הערך הקטן ביותר כאשר x שווה ל-1, והערך הגדול ביותר הוא כאשר x שווה ל-1.

m i n x ∈ - 1; 1 a r c sin x = a r c sin - 1 = - π 2 m a x x ∈ - 1 ; 1 a r c sin x = a r c sin 1 = π 2

לפיכך, טווח הערכים של פונקציית הקשת יהיה שווה ל-E (a r c sin x) = - π 2; π 2.

תשובה: E (a r c sin x) = - π 2; π 2

דוגמה 2

מַצָב:חשב את טווח הערכים y = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 במרווח הנתון [ 1 ; 4] .

פִּתָרוֹן

כל שעלינו לעשות הוא לחשב את הערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה במרווח נתון.

כדי לקבוע נקודות קיצון, יש לבצע את החישובים הבאים:

y " = x 4 - 5 x 3 + 6 x 2 " = 4 x 3 + 15 x 2 + 12 x = x 4 x 2 - 15 x + 12 y " = 0 ⇔ x (4 x 2 - 15 x + 12 ) = 0 x 1 = 0 ∉ 1; 4 ו-l ו-4 x 2 - 15 x + 12 = 0 D = - 15 2 - 4 4 12 = 33 x 2 = 15 - 33 8 ≈ 1. 16 ∈ 1; 4 ; x 3 = 15 + 33 8 ≈ 2 . 59 ∈ 1 ; 4

עכשיו בואו נמצא את ערכי הפונקציה הנתונה בקצות הקטע ונקודות x 2 = 15 - 33 8; x 3 = 15 + 33 8:

y (1) = 1 4 - 5 1 3 + 6 1 2 = 2 y 15 - 33 8 = 15 - 33 8 4 - 5 15 - 33 8 3 + 6 15 - 33 8 2 = = 117 + 165 33 512 2. 08 י 15 + 33 8 = 15 + 33 8 4 - 5 · 15 + 33 8 3 + 6 · 15 + 33 8 2 = = 117 - 165 33 512 ≈ - 1 . 62 שנים (4) = 4 4 - 5 4 3 + 6 4 2 = 32

משמעות הדבר היא שקבוצת ערכי הפונקציה תיקבע על ידי הקטע 117 - 165 33 512; 32.

תשובה: 117 - 165 33 512 ; 32 .

נעבור למציאת קבוצת הערכים של הפונקציה הרציפה y = f (x) במרווחים (a ; b) ו- a ; + ∞ , - ∞ ; ב , - ∞ ; + ∞ .

נתחיל בקביעת הנקודות הגדולות והקטנות ביותר, וכן את מרווחי ההגדלה והירידה במרווח נתון. לאחר מכן, נצטרך לחשב גבולות חד צדדיים בקצוות המרווח ו/או גבולות באינסוף. במילים אחרות, עלינו לקבוע את התנהגות הפונקציה בתנאים נתונים. יש לנו את כל הנתונים הדרושים לכך.

דוגמה 3

מַצָב:חשב את טווח הפונקציה y = 1 x 2 - 4 במרווח (- 2 ; 2) .

פִּתָרוֹן

קבע את הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה בקטע נתון

y " = 1 x 2 - 4 " = - 2 x (x 2 - 4) 2 y " = 0 ⇔ - 2 x (x 2 - 4) 2 = 0 ⇔ x = 0 ∈ (- 2 ; 2)

קיבלנו ערך מקסימלי השווה ל-0, מכיוון שבנקודה זו משתנה הסימן של הפונקציה והגרף מתחיל לרדת. ראה איור:

כלומר, y (0) = 1 0 2 - 4 = - 1 4 יהיה הערך המרבי של הפונקציה.

עכשיו בואו נקבע את התנהגות הפונקציה עבור x שנוטה ל-2 בצד ימין ו-+2 בצד שמאל. במילים אחרות, אנו מוצאים מגבלות חד-צדדיות:

lim x → - 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → - 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 - 2 + 0 - 2 - 2 + 0 + 2 = - 1 4 · 1 + 0 = - ∞ lim x → 2 + 0 1 x 2 - 4 = lim x → 2 + 0 1 (x - 2) (x + 2) = = 1 2 - 0 - 2 2 - 0 + 2 = 1 4 1 - 0 = - ∞

מסתבר שערכי הפונקציה יגדלו ממינוס אינסוף ל-1 4 כאשר הארגומנט משתנה מ-2 ל-0. וכשהארגומנט משתנה מ-0 ל-2, ערכי הפונקציה יורדים לכיוון מינוס אינסוף. כתוצאה מכך, קבוצת הערכים של פונקציה נתונה במרווח שאנו צריכים תהיה (- ∞ ; - 1 4 ] .

תשובה: (- ∞ ; - 1 4 ] .

דוגמה 4

מַצָב: ציין את קבוצת הערכים y = t g x במרווח נתון - π 2; π 2.

פִּתָרוֹן

אנו יודעים שבמקרה הכללי הנגזרת של הטנגנס היא - π 2; π 2 יהיה חיובי, כלומר הפונקציה תגדל. כעת הבה נקבע כיצד הפונקציה מתנהגת בתוך הגבולות הנתונים:

lim x → π 2 + 0 t g x = t g - π 2 + 0 = - ∞ lim x → π 2 - 0 t g x = t g π 2 - 0 = + ∞

השגנו עלייה בערכי הפונקציה ממינוס אינסוף לפלוס אינסוף כאשר הארגומנט משתנה מ- π 2 ל- π 2, ונוכל לומר שקבוצת הפתרונות לפונקציה זו תהיה קבוצת כל המספרים הממשיים .

תשובה: - ∞ ; + ∞ .

דוגמה 5

מַצָב:קבע את הטווח של פונקציית הלוגריתם הטבעי y = ln x.

פִּתָרוֹן

אנו יודעים שפונקציה זו מוגדרת עבור ערכים חיוביים של הארגומנט D (y) = 0; + ∞ . הנגזרת על מרווח נתון תהיה חיובית: y " = ln x " = 1 x . זה אומר שהפונקציה גדלה בו. לאחר מכן עלינו להגדיר גבול חד צדדי למקרה כאשר הארגומנט נוטה ל-0 (בצד ימין) וכאשר x מגיע לאינסוף:

lim x → 0 + 0 ln x = ln (0 + 0) = - ∞ lim x → ∞ ln x = ln + ∞ = + ∞

מצאנו שערכי הפונקציה יגדלו ממינוס אינסוף לפלוס אינסוף ככל שהערכים של x משתנים מאפס לפלוס אינסוף. המשמעות היא שקבוצת כל המספרים הממשיים היא טווח הערכים של פונקציית הלוגריתם הטבעי.

תשובה:קבוצת כל המספרים הממשיים היא טווח הערכים של פונקציית הלוגריתם הטבעי.

דוגמה 6

מַצָב:קבע את טווח הפונקציה y = 9 x 2 + 1.

פִּתָרוֹן

פונקציה זו מוגדרת בתנאי ש-x הוא מספר ממשי. הבה נחשב את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה, כמו גם את מרווחי העלייה והירידה שלה:

y " = 9 x 2 + 1 " = - 18 x (x 2 + 1) 2 y " = 0 ⇔ x = 0 y " ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 y " ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

כתוצאה מכך, קבענו שפונקציה זו תקטן אם x ≥ 0; להגדיל אם x ≤ 0; יש לו נקודת מקסימום y (0) = 9 0 2 + 1 = 9 עם משתנה שווה ל-0.

בואו נראה איך הפונקציה מתנהגת באינסוף:

lim x → - ∞ 9 x 2 + 1 = 9 - ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0 lim x → + ∞ 9 x 2 + 1 = 9 + ∞ 2 + 1 = 9 1 + ∞ = + 0

ברור מהרשומה שערכי הפונקציה במקרה זה יתקרבו באופן אסימפטוטי ל-0.

לסיכום: כאשר הארגומנט משתנה ממינוס אינסוף לאפס, ערכי הפונקציה עולים מ-0 ל-9. כאשר ערכי הארגומנט משתנים מ-0 לפלוס אינסוף, ערכי הפונקציה המתאימים יפחתו מ-9 ל-0. הצגנו זאת באיור:

זה מראה שטווח הערכים של הפונקציה יהיה המרווח E (y) = (0 ; 9 ]

תשובה: E (y) = (0 ; 9 ]

אם אנחנו צריכים לקבוע את קבוצת הערכים של הפונקציה y = f (x) על המרווחים [ a ; ב) , (a ; b ] , [ a ; + ∞ ), (- ∞ ; b ] , אז נצטרך לבצע בדיוק את אותם מחקרים. לא ננתח מקרים אלה לעת עתה: נפגוש אותם בהמשך. בעיות.

אבל מה אם תחום ההגדרה של פונקציה מסוימת הוא איחוד של כמה מרווחים? לאחר מכן עלינו לחשב את קבוצות הערכים בכל אחד מהמרווחים הללו ולשלב אותם.

דוגמה 7

מַצָב:קבע מה טווח הערכים יהיה y = x x - 2.

פִּתָרוֹן

מכיוון שאין להפוך את המכנה של הפונקציה ל-0, אז D (y) = - ∞; 2 ∪ 2 ; + ∞ .

נתחיל בהגדרת קבוצת ערכי הפונקציה בקטע הראשון - ∞; 2, שהיא קורה פתוחה. אנו יודעים שהפונקציה עליו תרד, כלומר הנגזרת של פונקציה זו תהיה שלילית.

lim x → 2 - 0 x x - 2 = 2 - 0 2 - 0 - 2 = 2 - 0 = - ∞ lim x → - ∞ x x - 2 = lim x → - ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → - ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 - ∞ - 2 = 1 - 0

לאחר מכן, במקרים בהם הארגומנט משתנה לכיוון מינוס אינסוף, ערכי הפונקציה יתקרבו באופן אסימפטוטי ל-1. אם הערכים של x ישתנו ממינוס אינסוף ל-2, אז הערכים יפחתו מ-1 למינוס אינסוף, כלומר. הפונקציה בקטע זה תיקח ערכים מהמרווח - ∞; 1 . אנו מוציאים את האחדות מהשיקולים שלנו, שכן ערכי הפונקציה אינם מגיעים אליה, אלא רק מתקרבים אליה בצורה אסימפטוטית.

לקורה פתוחה 2; + ∞ אנו מבצעים בדיוק את אותן פעולות. גם הפונקציה בו הולכת ופוחתת:

lim x → 2 + 0 x x - 2 = 2 + 0 2 + 0 - 2 = 2 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x x - 2 = lim x → + ∞ x - 2 + 2 x - 2 = lim x → + ∞ 1 + 2 x - 2 = 1 + 2 + ∞ - 2 = 1 + 0

ערכי הפונקציה בקטע נתון נקבעים על ידי הסט 1; + ∞ . המשמעות היא שטווח הערכים שאנו צריכים עבור הפונקציה המצוינת בתנאי יהיה איחוד הקבוצות - ∞ ; 1 ו-1; + ∞ .

תשובה: E (y) = - ∞ ; 1 ∪ 1 ; + ∞ .

ניתן לראות זאת בגרף:

מקרה מיוחד הוא פונקציות תקופתיות. טווח הערכים שלהם עולה בקנה אחד עם קבוצת הערכים במרווח התואם לתקופה של פונקציה זו.

דוגמה 8

מַצָב:לקבוע את טווח הערכים של סינוס y = sin x.

פִּתָרוֹן

סינוס הוא פונקציה מחזורית והתקופה שלה היא 2 פי. קח את הקטע 0; 2 π וראה מה תהיה סט הערכים שעליו.

y " = (sin x) " = cos x y " = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = π 2 + πk , k ∈ Z

בתוך 0; 2 π לפונקציה יהיו נקודות קיצון π 2 ו-x = 3 π 2. בואו נחשב למה יהיו ערכי הפונקציה שווים בהם, כמו גם בגבולות הקטע, ולאחר מכן נבחר את הערך הגדול והקטן ביותר.

y (0) = sin 0 = 0 y π 2 = sin π 2 = 1 y 3 π 2 = sin 3 π 2 = - 1 y (2 π) = sin (2 π) = 0 ⇔ min x ∈ 0 ; 2 π sin x = sin 3 π 2 = - 1, מקסימום x ∈ 0; 2 π sin x = sin π 2 = 1

תשובה: E (sin x) = - 1 ; 1 .

אם אתה צריך לדעת את טווחי הפונקציות כגון כוח, אקספוננציאלי, לוגריתמי, טריגונומטרי, טריגונומטרי הפוך, אז אנו ממליצים לך לקרוא שוב את המאמר על פונקציות יסודיות בסיסיות. התיאוריה שאנו מציגים כאן מאפשרת לנו לאמת את הערכים שצוינו שם. רצוי ללמוד אותם כי הם נדרשים לעתים קרובות בעת פתרון בעיות. אם אתה מכיר את טווחי הפונקציות הבסיסיות, תוכל למצוא בקלות את טווחי הפונקציות המתקבלות מאלו היסודיות באמצעות טרנספורמציה גיאומטרית.

דוגמה 9

מַצָב:קבע את טווח הערכים y = 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 .

פִּתָרוֹן

אנו יודעים שהקטע מ-0 עד פי הוא טווח הקוסינוס הקשת. במילים אחרות, E (a r c cos x) = 0; π או 0 ≤ a r c cos x ≤ π . נוכל לקבל את הפונקציה a r c cos x 3 + 5 π 7 מקוסינוס הקשת על ידי הזזה ומתיחה שלו לאורך ציר O x, אבל טרנספורמציות כאלה לא יתנו לנו כלום. זה אומר 0 ≤ a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ π.

ניתן לקבל את הפונקציה 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 מקוסינוס הקשת a r c cos x 3 + 5 π 7 על ידי מתיחה לאורך ציר האורדינאטה, כלומר. 0 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 ≤ 3 π. הטרנספורמציה הסופית היא תזוזה לאורך ציר O y ב-4 ערכים. כתוצאה מכך, אנו מקבלים אי שוויון כפול:

0 - 4 ≤ 3 a r c cos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4 ⇔ - 4 ≤ 3 arccos x 3 + 5 π 7 - 4 ≤ 3 π - 4

מצאנו שטווח הערכים שאנו צריכים יהיה שווה ל-E (y) = -4; 3 π - 4 .

תשובה: E (y) = - 4; 3 π - 4 .

נרשום דוגמה נוספת ללא הסבר, כי זה דומה לחלוטין לקודם.

דוגמה 10

מַצָב:חשב מה יהיה הטווח של הפונקציה y = 2 2 x - 1 + 3.

פִּתָרוֹן

הבה נכתוב מחדש את הפונקציה שצוינה בתנאי כ-y = 2 · (2 ​​x - 1) - 1 2 + 3. עבור פונקציית חזקה y = x - 1 2 טווח הערכים יוגדר במרווח 0; + ∞, כלומר. x - 1 2 > 0 . במקרה הזה:

2 x - 1 - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 > 0 ⇒ 2 (2 x - 1) - 1 2 + 3 > 3

אז E(y) = 3; + ∞ .

תשובה: E(y) = 3; + ∞ .

כעת נסתכל כיצד למצוא את טווח הערכים של פונקציה שאינה רציפה. כדי לעשות זאת, עלינו לחלק את כל השטח למרווחים ולמצוא קבוצות של ערכים בכל אחד מהם, ולאחר מכן לשלב את מה שנקבל. כדי להבין זאת טוב יותר, אנו ממליצים לך לסקור את הסוגים העיקריים של נקודות עצירה של פונקציות.

דוגמה 11

מַצָב:בהינתן הפונקציה y = 2 sin x 2 - 4 , x ≤ - 3 - 1 , - 3< x ≤ 3 1 x - 3 , x >3. חשב את טווח הערכים שלו.

פִּתָרוֹן

פונקציה זו מוגדרת עבור כל הערכים של x. הבה ננתח אותו עבור המשכיות עם ערכי הטיעון השווים ל-3 ו-3:

lim x → - 3 - 0 f (x) = lim x → - 3 2 sin x 2 - 4 = 2 sin - 3 2 - 4 = - 2 sin 3 2 - 4 lim x → - 3 + 0 f (x) = lim x → - 3 (1) = - 1 ⇒ lim x → - 3 - 0 f (x) ≠ lim x → - 3 + 0 f (x)

יש לנו אי רציפות בלתי ניתנת להסרה מהסוג הראשון כאשר ערך הטיעון הוא - 3. ככל שאנו מתקרבים אליו, ערכי הפונקציה נוטים ל-2 sin 3 2-4, וכאשר x שואף ל-3 בצד ימין, הערכים ישוו ל-1.

lim x → 3 - 0 f (x) = lim x → 3 - 0 (- 1) = 1 lim x → 3 + 0 f (x) = lim x → 3 + 0 1 x - 3 = + ∞

יש לנו אי רציפות בלתי ניתנת להסרה מהסוג השני בנקודה 3. כאשר פונקציה נוטה אליה, הערכים שלה מתקרבים - 1, כאשר נוטים לאותה נקודה מימין - למינוס אינסוף.

המשמעות היא שכל תחום ההגדרה של פונקציה זו מחולק ל-3 מרווחים (- ∞ ; - 3 ], (- 3 ; 3 ], (3 ; + ∞).

בראשון שבהם קיבלנו את הפונקציה y = 2 sin x 2 - 4. מכיוון ש- 1 ≤ sin x ≤ 1, אנו מקבלים:

1 ≤ sin x 2< 1 ⇒ - 2 ≤ 2 sin x 2 ≤ 2 ⇒ - 6 ≤ 2 sin x 2 - 4 ≤ - 2

המשמעות היא שבמרווח נתון (-∞; -3] קבוצת ערכי הפונקציה היא [-6; 2].

בחצי המרווח (- 3; 3 ], התוצאה היא פונקציה קבועה y = - 1. כתוצאה מכך, כל קבוצת הערכים שלו במקרה זה תקטן למספר אחד - 1.

במרווח השני 3; + ∞ יש לנו את הפונקציה y = 1 x - 3 . הוא פוחת כי y " = - 1 (x - 3) 2< 0 . Она будет убывать от плюс бесконечности до 0 , но самого 0 не достигнет, потому что:

lim x → 3 + 0 1 x - 3 = 1 3 + 0 - 3 = 1 + 0 = + ∞ lim x → + ∞ 1 x - 3 = 1 + ∞ - 3 = 1 + ∞ + 0

משמעות הדבר היא שקבוצת הערכים של הפונקציה המקורית עבור x > 3 היא הסט 0; + ∞ . כעת נשלב את התוצאות: E (y) = - 6 ; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

תשובה: E (y) = - 6; - 2 ∪ - 1 ∪ 0 ; + ∞ .

הפתרון מוצג בגרף:

דוגמה 12

תנאי: יש פונקציה y = x 2 - 3 e x. קבע את קבוצת הערכים שלו.

פִּתָרוֹן

הוא מוגדר עבור כל ערכי הארגומנט שהם מספרים ממשיים. הבה נקבע באילו מרווחים פונקציה זו תגדל ובאילו היא תקטן:

y " = x 2 - 3 e x " = 2 x e x - e x (x 2 - 3) e 2 x = - x 2 + 2 x + 3 e x = - (x + 1) (x - 3) e x

אנו יודעים שהנגזרת תהפוך ל-0 אם x = - 1 ו-x = 3. הבה נמקם את שתי הנקודות הללו על הציר ונגלה אילו סימנים יהיו לנגזרת במרווחים המתקבלים.

הפונקציה תקטן ב- (- ∞ ; - 1 ] ∪ [ 3 ; + ∞) ותגדל ב- [ - 1 ; 3]. נקודת המינימום תהיה - 1, המקסימום - 3.

עכשיו בואו נמצא את ערכי הפונקציה המתאימים:

y (- 1) = - 1 2 - 3 e - 1 = - 2 e y (3) = 3 2 - 3 e 3 = 6 e - 3

בואו נסתכל על התנהגות הפונקציה באינסוף:

lim x → - ∞ x 2 - 3 e x = - ∞ 2 - 3 e - ∞ = + ∞ + 0 = + ∞ lim x → + ∞ x 2 - 3 e x = + ∞ 2 - 3 e + ∞ = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ x 2 - 3 " e x " = lim x → + ∞ 2 x e x = + ∞ + ∞ = = lim x → + ∞ 2 x " (e x) " = 2 lim x → + ∞ 1 e x = 2 1 + ∞ = + 0

הכלל של L'Hopital שימש לחישוב הגבול השני. בואו נתאר את התקדמות הפתרון שלנו על גבי גרף.

זה מראה שערכי הפונקציה יפחתו מפלוס אינסוף ל-2 e כאשר הארגומנט ישתנה ממינוס אינסוף ל-1. אם זה ישתנה מ-3 לפלוס אינסוף, הערכים יפחתו מ-6 e - 3 ל-0, אך לא יגיעו ל-0.

לפיכך, E(y) = [ - 2 e; + ∞).

תשובה: E(y) = [ - 2 e ; + ∞)

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

בעיות רבות מובילות אותנו לחפש קבוצה של ערכי פונקציה בקטע מסוים או בכל תחום ההגדרה. משימות כאלה כוללות הערכות שונות של ביטויים ופתרון אי שוויון.

במאמר זה נגדיר את טווח הערכים של פונקציה, נשקול שיטות למציאתה וננתח בפירוט את הפתרון של דוגמאות מפשוטות למורכבות יותר. כל החומר יסופק עם איורים גרפיים לבהירות. אז מאמר זה הוא תשובה מפורטת לשאלה כיצד למצוא את הטווח של פונקציה.

הַגדָרָה.

קבוצת הערכים של הפונקציה y = f(x) במרווח Xהוא קבוצת כל הערכים של פונקציה שהיא לוקחת בעת איטרציה על כל .

הַגדָרָה.

טווח פונקציות y = f(x)הוא קבוצת כל הערכים של פונקציה שהיא לוקחת בעת איטרציה על כל x מתחום ההגדרה.

טווח הפונקציה מסומן כ-E(f) .

הטווח של פונקציה וקבוצת הערכים של פונקציה אינם אותו דבר. נשקול מושגים אלה כשווים אם המרווח X בעת מציאת קבוצת הערכים של הפונקציה y = f(x) חופף לתחום ההגדרה של הפונקציה.

כמו כן, אל תבלבלו את טווח הפונקציה עם המשתנה x עבור הביטוי בצד ימין של השוויון y=f(x) . טווח הערכים המותרים של המשתנה x עבור הביטוי f(x) הוא תחום ההגדרה של הפונקציה y=f(x) .

האיור מציג מספר דוגמאות.

גרפים של פונקציות מוצגים עם קווים כחולים עבים, קווים אדומים דקים הם אסימפטוטים, נקודות אדומות וקווים על ציר Oy מציגים את טווח הערכים של הפונקציה המתאימה.

כפי שניתן לראות, טווח הערכים של פונקציה מתקבל על ידי הקרנת הגרף של הפונקציה על ציר ה-y. זה יכול להיות מספר בודד (מקרה ראשון), קבוצת מספרים (מקרה שני), קטע (מקרה שלישי), מרווח (מקרה רביעי), קרן פתוחה (מקרה חמישי), איחוד (מקרה שישי) וכו' .

אז מה אתה צריך לעשות כדי למצוא את טווח הערכים של פונקציה?

נתחיל מהמקרה הפשוט ביותר: נראה כיצד לקבוע את קבוצת הערכים של פונקציה רציפה y = f(x) בקטע.

ידוע שפונקציה רציפה על מרווח מגיעה לערכים המקסימליים והמינימליים שלה. לפיכך, קבוצת הערכים של הפונקציה המקורית על הקטע תהיה הקטע . כתוצאה מכך, המשימה שלנו מסתכמת במציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה בקטע.

לדוגמה, בואו נמצא את טווח הערכים של פונקציית הקשת.

דוגמא.

ציין את הטווח של הפונקציה y = arcsinx.

פִּתָרוֹן.

אזור ההגדרה של הקשת הוא הקטע [-1; 1] . בואו נמצא את הערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה בקטע זה.

הנגזרת חיובית עבור כל x מהמרווח (-1; 1), כלומר, הפונקציה arcsine גדלה על פני כל תחום ההגדרה. כתוצאה מכך, הוא לוקח את הערך הקטן ביותר ב-x = -1, והגדול ביותר ב-x = 1.

השגנו את הטווח של פונקציית arcsine .

דוגמא.

מצא את קבוצת ערכי הפונקציה על הקטע.

פִּתָרוֹן.

בוא נמצא את הערך הגדול והקטן ביותר של הפונקציה בקטע נתון.

הבה נקבע את נקודות הקיצון השייכות למקטע:

אנו מחשבים את ערכי הפונקציה המקורית בקצות הקטע ובנקודות :

לכן, קבוצת הערכים של פונקציה על מרווח היא המרווח .

כעת נראה כיצד למצוא את קבוצת הערכים של פונקציה רציפה y = f(x) במרווחים (a; b), .

ראשית, אנו קובעים את נקודות הקיצון, הקיצוניות של הפונקציה, מרווחי עלייה וירידה של הפונקציה במרווח נתון. לאחר מכן, אנו מחשבים בקצוות של המרווח ו(או) את הגבולות באינסוף (כלומר, אנו לומדים את התנהגות הפונקציה בגבולות המרווח או באינסוף). מידע זה מספיק כדי למצוא את קבוצת ערכי הפונקציות במרווחים כאלה.

דוגמא.

הגדר את קבוצת ערכי הפונקציה במרווח (-2; 2).

פִּתָרוֹן.

בואו נמצא את נקודות הקיצון של הפונקציה הנופלות על המרווח (-2; 2):

נְקוּדָה x = 0 היא נקודת מקסימום, כיוון שהנגזרת משנה סימן מפלוס למינוס במעבר דרכה, וגרף הפונקציה עובר מעלייה ליורד.

יש מקסימום תואם של הפונקציה.

בואו נגלה את התנהגות הפונקציה כאשר x נוטה ל-2 מימין וכאשר x שואף ל-2 משמאל, כלומר, נמצא מגבלות חד-צדדיות:

מה קיבלנו: כאשר הארגומנט משתנה מ-2 לאפס, ערכי הפונקציה עולים ממינוס אינסוף למינוס רבע (המקסימום של הפונקציה ב-x = 0), כאשר הארגומנט משתנה מאפס ל-2, ערכי הפונקציה יורדים למינוס אינסוף. לפיכך, קבוצת ערכי הפונקציה במרווח (-2; 2) היא .

דוגמא.

ציין את קבוצת הערכים של פונקציית המשיק y = tgx במרווח.

פִּתָרוֹן.

הנגזרת של פונקציית המשיק במרווח היא חיובית , מה שמעיד על עלייה בתפקוד. בואו נלמד את התנהגות הפונקציה בגבולות המרווח:

לפיכך, כאשר הארגומנט משתנה מ-to, ערכי הפונקציה עולים ממינוס אינסוף לפלוס אינסוף, כלומר, קבוצת ערכי המשיק במרווח זה היא קבוצת כל המספרים הממשיים.

דוגמא.

מצא את הטווח של פונקציית הלוגריתם הטבעי y = lnx.

פִּתָרוֹן.

פונקציית הלוגריתם הטבעי מוגדרת עבור ערכים חיוביים של הארגומנט . במרווח זה הנגזרת חיובית , זה מצביע על עלייה בפונקציה עליו. בוא נמצא את הגבול החד-צדדי של הפונקציה מכיוון שהארגומנט שואף לאפס מימין, והגבול כ-x שואף לפלוס אינסוף:

אנו רואים שכאשר x משתנה מאפס לפלוס אינסוף, ערכי הפונקציה עולים ממינוס אינסוף לפלוס אינסוף. לכן, הטווח של פונקציית הלוגריתם הטבעי הוא כל קבוצת המספרים הממשיים.

דוגמא.

פִּתָרוֹן.

פונקציה זו מוגדרת עבור כל הערכים האמיתיים של x. הבה נקבע את נקודות הקיצון, כמו גם את מרווחי העלייה והירידה של הפונקציה.

כתוצאה מכך, הפונקציה יורדת ב-, עולה ב-, x = 0 היא הנקודה המקסימלית, המקסימום המתאים של הפונקציה.

בואו נסתכל על התנהגות הפונקציה באינסוף:

לפיכך, באינסוף ערכי הפונקציה מתקרבים באופן אסימפטוטי לאפס.

מצאנו שכאשר הארגומנט משתנה ממינוס אינסוף לאפס (נקודת המקסימום), ערכי הפונקציה עולים מאפס לתשע (למקסימום של הפונקציה), וכאשר x משתנה מאפס לפלוס אינסוף, ערכי הפונקציה ירידה מתשע לאפס.

תסתכל על הציור הסכמטי.

כעת ניכר בבירור שטווח הערכים של הפונקציה הוא .

מציאת קבוצת הערכים של הפונקציה y = f(x) על מרווחים דורשת מחקר דומה. לא נתעכב על מקרים אלה בהרחבה כעת. נפגוש אותם שוב בדוגמאות שלהלן.

תן לתחום ההגדרה של הפונקציה y = f(x) להיות איחוד של מספר מרווחים. כאשר מוצאים את טווח הערכים של פונקציה כזו, קבוצות הערכים בכל מרווח נקבעות והאיחוד שלהן נלקח.

דוגמא.

מצא את הטווח של הפונקציה.

פִּתָרוֹן.

המכנה של הפונקציה שלנו לא צריך ללכת לאפס, כלומר,.

ראשית, בואו נמצא את קבוצת ערכי הפונקציה על הקרן הפתוחה.

נגזרת של פונקציה הוא שלילי במרווח זה, כלומר הפונקציה יורדת בו.

מצאנו שכאשר הטיעון נוטה למינוס אינסוף, ערכי הפונקציה מתקרבים באופן אסימפטוטי לאחדות. כאשר x משתנה ממינוס אינסוף לשניים, ערכי הפונקציה יורדים מאחד למינוס אינסוף, כלומר, במרווח הנחשב, הפונקציה מקבלת קבוצה של ערכים. אנחנו לא כוללים אחדות, שכן ערכי הפונקציה לא מגיעים אליה, אלא נוטים אליה רק ​​בצורה אסימפטוטית במינוס אינסוף.

אנו ממשיכים באופן דומה עבור הקורה הפתוחה.

במרווח זה גם הפונקציה יורדת.

קבוצת ערכי הפונקציות במרווח זה היא הסט .

לפיכך, טווח הערכים הרצוי של הפונקציה הוא האיחוד של הסטים ו.

איור גרפי.

יש להקדיש תשומת לב מיוחדת לתפקודים תקופתיים. טווח הערכים של פונקציות מחזוריות עולה בקנה אחד עם קבוצת הערכים במרווח המתאים לתקופה של פונקציה זו.

דוגמא.

מצא את הטווח של פונקציית הסינוס y = sinx.

פִּתָרוֹן.

פונקציה זו היא תקופתית עם תקופה של שני פאי. בואו ניקח קטע ונגדיר את קבוצת הערכים עליו.

הקטע מכיל שתי נקודות קיצון ו-.

אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בנקודות אלה ובגבולות המקטע, בוחרים את הערכים הקטנים והגדולים ביותר:

לָכֵן, .

דוגמא.

מצא את הטווח של פונקציה .

פִּתָרוֹן.

אנו יודעים שטווח הקוסינוס הקשת הוא הקטע מאפס עד פי, כלומר, או בפוסט אחר. פוּנקצִיָה ניתן להשיג מ-arccosx על ידי הזזה ומתיחה לאורך ציר האבססיס. טרנספורמציות כאלה אינן משפיעות על טווח הערכים, לכן, . פוּנקצִיָה מתקבל מ מתיחה שלוש פעמים לאורך ציר Oy, כלומר, . והשלב האחרון של הטרנספורמציה הוא תזוזה של ארבע יחידות מטה לאורך הסמין. זה מוביל אותנו לאי שוויון כפול

לפיכך, טווח הערכים הנדרש הוא .

הבה ניתן את הפתרון לדוגמא נוספת, אך ללא הסברים (הם אינם נדרשים, מכיוון שהם דומים לחלוטין).

דוגמא.

הגדר טווח פונקציות .

פִּתָרוֹן.

הבה נכתוב את הפונקציה המקורית בטופס . טווח הערכים של פונקציית ההספק הוא המרווח. זה, . לאחר מכן

לָכֵן, .

כדי להשלים את התמונה, עלינו לדבר על מציאת טווח הערכים של פונקציה שאינה רציפה בתחום ההגדרה. במקרה זה, אנו מחלקים את תחום ההגדרה למרווחים לפי נקודות שבירה, ומוצאים סטים של ערכים על כל אחד מהם. על ידי שילוב של קבוצות הערכים המתקבלות, אנו מקבלים את טווח הערכים של הפונקציה המקורית. אנו ממליצים לזכור את 3 משמאל, ערכי הפונקציה נוטים למינוס אחד, וכפי ש-x שואף ל-3 מימין, ערכי הפונקציה נוטים לפלוס אינסוף.

לפיכך, אנו מחלקים את תחום ההגדרה של הפונקציה לשלושה מרווחים.

על המרווח יש לנו את הפונקציה . מאז

לפיכך, קבוצת הערכים של הפונקציה המקורית במרווח היא [-6;2] .

בחצי המרווח יש לנו פונקציה קבועה y = -1. כלומר, קבוצת הערכים של הפונקציה המקורית במרווח מורכבת מאלמנט בודד.

הפונקציה מוגדרת עבור כל ערכי הארגומנטים החוקיים. הבה נגלה את מרווחי העלייה והירידה של הפונקציה.

הנגזרת נעלמת ב-x=-1 ו-x=3. הבה נסמן את הנקודות הללו על קו המספרים ונקבע את הסימנים של הנגזרת במרווחים המתקבלים.

הפונקציה יורדת ב- , עולה ב-[-1; 3] , x=-1 נקודת מינימום, x=3 נקודת מקסימום.

בוא נחשב את המינימום והמקסימום המתאימים של הפונקציה:

בואו נבדוק את התנהגות הפונקציה באינסוף:

הגבול השני חושב באמצעות .

בואו נעשה ציור סכמטי.

כאשר הארגומנט משתנה ממינוס אינסוף ל-1, ערכי הפונקציה יורדים מפלוס אינסוף ל-2e, כאשר הארגומנט משתנה מ-1 ל-3, ערכי הפונקציה גדלים מ-2e ל, כאשר הארגומנט משתנה מ- 3 עד פלוס אינסוף, ערכי הפונקציה יורדים מאפס, אבל הם לא מגיעים לאפס.