נוסחאות טריגונומטריה 10. נוסחאות טריגונומטריה בסיסיות

13.03.2022

בעמוד זה תמצאו את כל הנוסחאות הטריגונומטריות הבסיסיות שיעזרו לכם לפתור תרגילים רבים, ויפשטו מאוד את הביטוי עצמו.

נוסחאות טריגונומטריות הן שוויון מתמטי עבור פונקציות טריגונומטריות שמתקיימות עבור כל הערכים התקפים של הארגומנט.

נוסחאות מפרטות את היחסים בין הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות - סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט.

הסינוס של זווית הוא קואורדינטת ה-y של נקודה (אורדינטה) במעגל היחידה. הקוסינוס של זווית הוא קואורדינטת ה-x של נקודה (אבשסיס).

טנגנט וקוטנגנט הם, בהתאמה, היחס בין סינוס לקוסינוס ולהיפך.
`חטא\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \n \in Z`

ושניים שמשתמשים בהם פחות - סקאנט, קוסקאנט. הם מייצגים את היחסים של 1 לקוסינוס וסינוס.

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

מההגדרות של פונקציות טריגונומטריות ברור אילו סימנים יש להן בכל רבע. הסימן של הפונקציה תלוי רק באיזה רבע נמצא הארגומנט.

כאשר משנים את הסימן של הארגומנט מ-"+" ל-"-", רק פונקציית הקוסינוס אינה משנה את ערכה. זה נקרא אפילו. הגרף שלו סימטרי על ציר הסמין.

הפונקציות הנותרות (סינוס, טנגנס, קוטנגנט) הן אי-זוגיות. כאשר משנים את הסימן של הארגומנט מ-"+" ל-"-", ערכם משתנה גם לשלילי. הגרפים שלהם סימטריים לגבי המקור.

`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \\alpha`

זהויות טריגונומטריות בסיסיות

זהויות טריגונומטריות בסיסיות הן נוסחאות המקימות קשר בין פונקציות טריגונומטריות של זווית אחת (`sin\\alpha,\cos\\alpha,\tg\\alpha,\ctg\\alpha`) ומאפשרות למצוא את הערך של כל אחד מהתפקודים הללו באמצעות כל אחר ידוע.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`

נוסחאות לסכום והפרש זוויות של פונקציות טריגונומטריות

נוסחאות לחיבור והפחתה של ארגומנטים מבטאות פונקציות טריגונומטריות של סכום או הפרש של שתי זוויות במונחים של פונקציות טריגונומטריות של זוויות אלו.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \\beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \\beta)(1-tg \ \alpha\ tg \\beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \\alpha-tg \\beta)(1+tg \\alpha \tg \\beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \\alpha \ ctg \\beta-1)(ctg \\beta+ctg \\alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \\alpha\ ctg \\beta+1)(ctg \\beta-ctg \\alpha)`

נוסחאות זווית כפולה

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha) )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)=` `\frac (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

נוסחאות זווית משולשת

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

נוסחאות חצי זווית

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \\ alpha)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \\alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \\ alpha)=\frac (1+cos \\alpha)(sin \\alpha)`

נוסחאות לארגומנטים חצי, כפול ומשולש מבטאות את הפונקציות `sin, \cos, \tg, \ctg` של הארגומנטים הללו (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,... ` ) דרך הפונקציות האלה ארגומנט `\alpha`.

את מסקנתם ניתן לקבל מהקבוצה הקודמת (חיבור וחיסור טיעונים). לדוגמה, זהויות של זווית כפולה מתקבלות בקלות על ידי החלפת `\beta` ב-`\alpha`.

נוסחאות הפחתת תארים

נוסחאות של ריבועים (קוביות וכו') של פונקציות טריגונומטריות מאפשרות לנוע מ-2,3,... מעלות לפונקציות טריגונומטריות מהמעלה הראשונה, אך זוויות מרובות (`\alpha, \3\alpha, \... ` או `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

נוסחאות לסכום והפרש של פונקציות טריגונומטריות

הנוסחאות הן טרנספורמציות של סכום והפרש של פונקציות טריגונומטריות של ארגומנטים שונים למכפלה.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

כאן מתרחשת ההמרה של חיבור וחיסור של פונקציות של ארגומנט אחד למכפלה.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

הנוסחאות הבאות ממירות את הסכום וההפרש של אחד ופונקציה טריגונומטרית למכפלה.

`1+cos \ \alpha=2 \cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

נוסחאות להמרת תוצרים של פונקציות

נוסחאות להמרת המכפלה של פונקציות טריגונומטריות עם ארגומנטים `\alpha` ו-`\beta` לסכום (הפרש) של הארגומנטים הללו.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \\beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha -\ בטא))`

החלפה טריגונומטרית אוניברסלית

נוסחאות אלו מבטאות פונקציות טריגונומטריות במונחים של טנגנס של חצי זווית.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

נוסחאות הפחתה

ניתן לקבל נוסחאות הפחתה באמצעות מאפיינים כאלה של פונקציות טריגונומטריות כמו מחזוריות, סימטריה ותכונת ההזזה בזווית נתונה. הם מאפשרים להמיר פונקציות של זווית שרירותית לפונקציות שהזווית שלהן היא בין 0 ל-90 מעלות.

עבור זווית (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) או (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
עבור זווית (`\pi \pm \alpha`) או (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
עבור זווית (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) או (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
עבור זווית (`2\pi \pm \alpha`) או (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

ביטוי של כמה פונקציות טריגונומטריות במונחים של אחרים

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha)=\frac 1(ctg\\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`

טריגונומטריה מתורגמת, מילולית, ל"מדידת משולשים". זה מתחיל להילמד בבית הספר, וממשיך ביתר פירוט באוניברסיטאות. לכן, יש צורך בנוסחאות בסיסיות בטריגונומטריה החל מציון 10, כמו גם למעבר בבחינת המדינה המאוחדת. הם מציינים קשרים בין פונקציות, ומכיוון שיש הרבה מהקשרים האלה, יש הרבה נוסחאות עצמן. לא קל לזכור את כולם, ואין זה הכרחי - אם צריך, אפשר להציג את כולם.

נוסחאות טריגונומטריות משמשות בחשבון אינטגרלי, כמו גם בהפשטות טריגונומטריות, בחישובים ובטרנספורמציות.

טריגונומטריה, נוסחאות טריגונומטריות

ניתנים הקשרים בין הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות - סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט נוסחאות טריגונומטריות. ומכיוון שיש די הרבה קשרים בין פונקציות טריגונומטריות, זה מסביר את שפע הנוסחאות הטריגונומטריות. חלק מהנוסחאות מחברות פונקציות טריגונומטריות של אותה זווית, אחרות - פונקציות של זווית מרובה, אחרות - מאפשרות להקטין את המעלה, רביעית - מבטאות את כל הפונקציות דרך הטנגנס של חצי זווית וכו'.

במאמר זה נפרט לפי הסדר את כל הנוסחאות הטריגונומטריות הבסיסיות, אשר מספיקות לפתרון הרוב המכריע של בעיות הטריגונומטריה. כדי להקל על השינון והשימוש, נקבץ אותם לפי מטרה ונכניס אותם לטבלאות.

זהויות טריגונומטריות בסיסיותלהגדיר את הקשר בין סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של זווית אחת. הם נובעים מההגדרה של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט, כמו גם מהמושג של מעגל היחידה. הם מאפשרים לך לבטא פונקציה טריגונומטרית אחת במונחים של כל פונקציה אחרת.

לתיאור מפורט של נוסחאות טריגונומטריה אלה, גזירתן ודוגמאות ליישום, עיין במאמר זהויות טריגונומטריות בסיסיות.

ראש העמוד

נוסחאות הפחתה

נוסחאות הפחתהנובעים מהמאפיינים של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט, כלומר, הם משקפים את תכונת המחזוריות של פונקציות טריגונומטריות, תכונת הסימטריה, כמו גם תכונת ההזזה בזווית נתונה. נוסחאות טריגונומטריות אלו מאפשרות לך לעבור מעבודה עם זוויות שרירותיות לעבודה עם זוויות הנעות בין אפס ל-90 מעלות.

את הרציונל לנוסחאות אלו, כלל מנמוני לשינון ודוגמאות ליישום שלהן ניתן ללמוד בנוסחאות הפחתת המאמר.

ראש העמוד

נוסחאות תוספת

נוסחאות חיבור טריגונומטריותהראה כיצד פונקציות טריגונומטריות של הסכום או ההפרש של שתי זוויות באות לידי ביטוי במונחים של פונקציות טריגונומטריות של אותן זוויות. נוסחאות אלו משמשות בסיס לגזירת הנוסחאות הטריגונומטריות הבאות.

למידע נוסף, עיין במאמר נוסחאות הוספה.

ראש העמוד

נוסחאות לדאבל, טריפל וכו'. זָוִית

נוסחאות לדאבל, טריפל וכו'. זווית (הן נקראות גם נוסחאות זוויות מרובות) מראים כיצד פונקציות טריגונומטריות של כפול, משולש וכו'. זוויות () מתבטאות במונחים של פונקציות טריגונומטריות של זווית בודדת. הגזירה שלהם מבוססת על נוסחאות חיבור.

מידע מפורט יותר נאסף בנוסחאות המאמר עבור כפול, משולש וכו'. פינה.

ראש העמוד

נוסחאות חצי זווית

נוסחאות חצי זוויתהראה כיצד פונקציות טריגונומטריות של חצי זווית באות לידי ביטוי במונחים של קוסינוס של זווית שלמה. נוסחאות טריגונומטריות אלו נובעות מנוסחאות הזווית הכפולה.

את המסקנה שלהם ודוגמאות ליישום ניתן למצוא במאמר על נוסחאות חצי זווית.

ראש העמוד

נוסחאות הפחתת תארים

נוסחאות טריגונומטריות להפחתת מעלותנועדו להקל על המעבר מכוחות טבעיים של פונקציות טריגונומטריות לסינוסים וקוסינוסים במעלה הראשונה, אך זוויות מרובות. במילים אחרות, הם מאפשרים לך להפחית את הכוחות של פונקציות טריגונומטריות לראשון.

ראש העמוד

נוסחאות לסכום והפרש של פונקציות טריגונומטריות

המטרה העיקרית נוסחאות לסכום והפרש של פונקציות טריגונומטריותזה ללכת לתוצר של פונקציות, וזה מאוד שימושי בעת פישוט ביטויים טריגונומטריים. נוסחאות אלה נמצאות בשימוש נרחב גם בפתרון משוואות טריגונומטריות, מכיוון שהן מאפשרות לך לחשב את הסכום וההפרש של סינוסים וקוסינוסים.

לגזירת נוסחאות, כמו גם דוגמאות ליישום שלהן, ראה נוסחאות המאמר לסכום והפרש של סינוס וקוסינוס.

ראש העמוד

נוסחאות למכפלה של סינוסים, קוסינוסים וסינוס אחר קוסינוס

המעבר מהמכפלה של פונקציות טריגונומטריות לסכום או הבדל מתבצע באמצעות הנוסחאות למכפלת הסינוסים, הקוסינוסים והסינוס לקוסינוס.

ראש העמוד

החלפה טריגונומטרית אוניברסלית

אנו משלימים את סקירתנו של הנוסחאות הבסיסיות של טריגונומטריה עם נוסחאות המבטאות פונקציות טריגונומטריות במונחים של טנגנס של חצי זווית. מחליף זה נקרא החלפה טריגונומטרית אוניברסלית. הנוחות שלו טמונה בעובדה שכל הפונקציות הטריגונומטריות מתבטאות במונחים של טנגנס של חצי זווית באופן רציונלי ללא שורשים.

למידע מלא נוסף, עיין במאמר החלפה טריגונומטרית אוניברסלית.

ראש העמוד

אַלגֶבּרָה:ספר לימוד לכיתה ט'. ממוצע בית ספר/יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; אד. ש"א טליקובסקי. - מ.: חינוך, 1990. - 272 עמ': איל. - ISBN 5-09-002727-7
בשמקוב מ.י.אלגברה והתחלות הניתוח: ספר לימוד. לכיתות י'-י"א. ממוצע בית ספר - מהדורה שלישית. - מ.: חינוך, 1993. - 351 עמ': ill. — ISBN 5-09-004617-4.
אַלגֶבּרָהותחילת הניתוח: פרוק. לכיתות י'-י"א. חינוך כללי מוסדות / א.נ. קולמוגורוב, א.מ. אברמוב, יו.פ. דודניצין ואחרים; אד. א.נ. קולמוגורוב. - מהדורה 14 - מ.: חינוך, 2004. - 384 עמ': איל. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G.מתמטיקה (מדריך למי שנכנס לבתי ספר טכניים): פרוק. קצבה.- מ.; גבוה יותר בית ספר, 1984.-351 עמ', ill.

נוסחאות טריגונומטריות- אלו הן הנוסחאות הנחוצות ביותר בטריגונומטריה, הנחוצות לביטוי פונקציות טריגונומטריות המבוצעות עבור כל ערך של הארגומנט.

נוסחאות תוספת.

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α

cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)

tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)

ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

נוסחאות זווית כפולה.

כי 2α = cos²α -sin²α

כי 2α = 2cos²α — 1

כי 2α = 1 - 2sin²α

חטא 2α = 2חטאα חַסַת עָלִיםα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

ctg 2α = (ctg²α — 1) ÷ (2ctgα )

נוסחאות זווית משולשת.

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α

כי 3α = 4cos³α - 3 cosα

tg 3α = (3tgα — tg³α ) ÷ (1 - 3tg²α )

ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

נוסחאות חצי זווית.

נוסחאות הפחתה.

פונקציה/זווית בראד.	π/2 - α	π/2 + α			3π/2 - α	3π/2 + α	2π - α	2π + α




פונקציה/זווית ב-°	90° - α	90° + α	180° - α	180° + α	270° - α	270° + α	360° - α	360° + α

תיאור מפורט של נוסחאות הפחתה.

נוסחאות טריגונומטריות בסיסיות.

זהות טריגונומטרית בסיסית:

sin 2 α+cos 2 α=1

זהות זו היא תוצאה של החלת משפט פיתגורס על משולש במעגל הטריגונומטרי של היחידה.

הקשר בין קוסינוס לטנגנס הוא:

1/cos 2 α−tan 2 α=1 או sec 2 α−tan 2 α=1.

נוסחה זו היא תולדה של הזהות הטריגונומטרית הבסיסית ומתקבלת ממנה על ידי חלוקת הצד השמאלי והימני ב-cos2α. ההנחה היא ש α≠π/2+πn,n∈Z.

הקשר בין סינוס לקוטנגנט:

1/sin 2 α−cot 2 α=1 או csc 2 α−cot 2 α=1.

נוסחה זו נובעת גם מהזהות הטריגונומטרית הבסיסית (שמתקבלת ממנה על ידי חלוקת הצד השמאלי והימין על ידי sin2α. כאן מניחים שכן α≠πn,n∈Z.

הגדרת טנג'נט:

tanα=sinα/cosα,

איפה α≠π/2+πn,n∈Z.

הגדרה של קוטנגנט:

cotα=cosα/sinα,

איפה α≠πn,n∈Z.

מסקנה מההגדרות של משיק וקוטנגנט:

tanα⋅ cotα=1,

איפה α≠πn/2,n∈Z.

הגדרה של סקאנט:

secα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ ז

הגדרה של cosecant:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ ז

אי שוויון טריגונומטרי.

אי השוויון הטריגונומטרי הפשוט ביותר:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

ריבועים של פונקציות טריגונומטריות.

נוסחאות לקוביות של פונקציות טריגונומטריות.

טריגונומטריה מתמטיקה. טְרִיגוֹנוֹמֶטרִיָה. נוסחאות. גֵאוֹמֶטרִיָה. תֵאוֹרִיָה

בדקנו את הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות ביותר (אל תלך שולל, בנוסף לסינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי, ישנן פונקציות רבות אחרות, אך עליהן נפרט בהמשך), אך לעת עתה נסתכל על כמה מאפיינים בסיסיים של פונקציות שכבר נחקרו.

פונקציות טריגונומטריות של ארגומנט מספרי

לא משנה מה המספר האמיתי t שנלקח, ניתן לשייך אותו למספר המוגדר באופן ייחודי sin(t).

נכון, כלל ההתאמה מורכב למדי ומורכב מהדברים הבאים.

כדי למצוא את הערך של sin(t) מהמספר t, אתה צריך:

מקם את מעגל המספרים במישור הקואורדינטות כך שמרכז המעגל יתאים למקור הקואורדינטות, ונקודת ההתחלה A של המעגל נופלת בנקודה (1; 0);
מצא נקודה על המעגל המתאימה למספר t;
מצא את האורדינאטה של נקודה זו.
הסמין הזה הוא החטא הרצוי (t).

למעשה, אנחנו מדברים על הפונקציה s = sin(t), כאשר t הוא כל מספר ממשי. אנו יודעים כיצד לחשב כמה ערכים של פונקציה זו (לדוגמה, sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \), וכו') , אנו מכירים כמה ממאפייניו.

קשר בין פונקציות טריגונומטריות

כפי שאתה, אני מקווה, יכול לנחש, כל הפונקציות הטריגונומטריות קשורות זו בזו ואפילו מבלי לדעת את המשמעות של אחת, ניתן למצוא אותה דרך אחרת.

לדוגמה, הנוסחה החשובה ביותר בכל הטריגונומטריה היא זהות טריגונומטרית בסיסית:

\[ sin^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

כפי שאתה יכול לראות, לדעת את הערך של הסינוס, אתה יכול למצוא את הערך של הקוסינוס, וגם להיפך.

נוסחאות טריגונומטריה

כמו כן נוסחאות נפוצות מאוד המקשרות את הסינוס והקוסינוס עם טנגנס וקוטנגנטי:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

משתי הנוסחאות האחרונות אפשר לגזור זהות טריגומטרית נוספת, הפעם מחברת משיק וקוטנגנט:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

כעת נראה כיצד הנוסחאות הללו פועלות בפועל.

דוגמה 1. פשט את הביטוי: א) \(1+ \tan^2 \; t \), ב) \(1+ \cot^2 \; t \)

א) קודם כל, בוא נכתוב את המשיק, תוך שמירה על הריבוע:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

עכשיו בואו נשים הכל תחת מכנה משותף, ונקבל:

\[ \sin^2\; t + \cos^2\; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t ) \]

ולבסוף, כפי שאנו רואים, ניתן לצמצם את המונה לאחד על ידי הזהות הטריגונומטרית הראשית, כתוצאה מכך נקבל: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

ב) עם הקוטנגנט אנחנו מבצעים את כל אותן הפעולות, רק המכנה כבר לא יהיה קוסינוס, אלא סינוס, והתשובה תהיה כך:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

לאחר השלמת המשימה הזו, הפקנו עוד שתי נוסחאות חשובות מאוד שמחברים את הפונקציות שלנו, שגם אנחנו צריכים לדעת כמו את כף היד שלנו:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

אתה חייב לדעת את כל הנוסחאות המוצגות בעל פה, אחרת לימוד נוסף של טריגונומטריה בלעדיהם הוא פשוט בלתי אפשרי. בעתיד יהיו עוד נוסחאות ויהיו הרבה מהן ואני מבטיחה לך שבהחלט תזכור את כולן להרבה זמן, או אולי לא תזכור אותן, אבל כולם צריכים לדעת את ששת הדברים האלה!

טבלה מלאה של כל נוסחאות ההפחתה הטריגונומטריות הבסיסיות והנדירות.

כאן תוכלו למצוא נוסחאות טריגונומטריות בצורה נוחה. וניתן למצוא נוסחאות הפחתה טריגונומטריות בעמוד אחר.

זהויות טריגונומטריות בסיסיות

- ביטויים מתמטיים עבור פונקציות טריגונומטריות, המבוצעות עבור כל ערך של הארגומנט.

sin² α + cos² α = 1
tg α cot α = 1
tg α = sin α ÷ cos α
cot α = cos α ÷ sin α
1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
1 + cotg² α = 1 ÷ sin² α

נוסחאות תוספת

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
sin (α - β) = sin α cos β - sin β cos α
cos (α + β) = cos α · cos β — sin α · sin β
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly - uchim.org

נוסחאות זווית כפולה

cos 2α = cos² α - sin² α
cos 2α = 2cos² α - 1
cos 2α = 1 - 2sin² α
sin 2α = 2sin α cos α
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

נוסחאות זווית משולשת

sin 3α = 3sin α – 4sin³ α
cos 3α = 4cos³ α – 3cos α
tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

נוסחאות הפחתת תארים

sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
sin³ α = (3sin α – sin 3α) ÷ 4
cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
sin² α · cos² α = (1 – cos 4α) ÷ 8
sin³ α · cos³ α = (3sin 2α – sin 6α) ÷ 32

מעבר ממוצר לסכום

sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
sin α sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

רשמנו די הרבה נוסחאות טריגונומטריות, אבל אם משהו חסר, נא לכתוב.

הכל ללימוד » מתמטיקה בבית הספר » נוסחאות טריגונומטריות - דף רמאות

כדי לסמן דף, הקש Ctrl+D.

קבוצה עם הרבה מידע שימושי (הירשם אם יש לך בחינה של מדינת מאוחדת או בחינה של מדינה מאוחדת):

כל מאגר המאמרים, הקורסים, עבודת הגמר וחומרים חינוכיים אחרים מסופק ללא תשלום. בשימוש בחומרי האתר הנך מאשר שקראת את הסכם המשתמש ומסכים לכל נקודותיו במלואן.

הטרנספורמציה של קבוצות של פתרונות כלליים של משוואות טריגונומטריות נחשבת בפירוט. החלק השלישי בוחן משוואות טריגונומטריות לא סטנדרטיות, שפתרונותיהן מבוססים על הגישה הפונקציונלית.

כל הנוסחאות (משוואות) של טריגונומטריה: sin(x) cos(x) tan(x) ctg(x)

החלק הרביעי דן באי-שוויון טריגונומטרי. שיטות לפתרון אי-שוויון טריגונומטרי יסודי, הן במעגל היחידה והן...

... זווית 1800-α= לאורך התחתון והזווית החדה: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> אז, בקורס גיאומטריה בבית הספר, המושג של פונקציה טריגונומטרית מוצג באמצעים גיאומטריים בשל הנגישות הגדולה יותר שלהם. הסכימה המתודולוגית המסורתית לחקר פונקציות טריגונומטריות היא כדלקמן: 1) ראשית, פונקציות טריגונומטריות נקבעות עבור זווית חדה של מלבני...

... שיעורי בית 19(3.6), 20(2.4) הצבת יעדים עדכון ידע בסיסי מאפיינים של פונקציות טריגונומטריות נוסחאות צמצום חומר חדש ערכי פונקציות טריגונומטריות פתרון המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר איחוד בעיות פתרון בעיות מטרת השיעור: היום נחשב את ערכים של פונקציות טריגונומטריות ולפתור ...

... ההשערה שנוסחה הדרושה כדי לפתור את הבעיות הבאות: 1. לזהות את תפקידן של משוואות טריגונומטריות ואי-שוויון בהוראת מתמטיקה; 2. לפתח מתודולוגיה לפיתוח היכולת לפתור משוואות ואי-שוויון טריגונומטריות, שמטרתה פיתוח מושגים טריגונומטריים; 3. בדוק בניסוי את יעילות השיטה שפותחה. לפתרונות…

נוסחאות טריגונומטריות

אנו מציגים לתשומת לבכם נוסחאות שונות הקשורות לטריגונומטריה.

(8) קוטנגנט של זווית כפולה

cotg(2α) =

ctg 2 (α) - 1 2ctg(α)

(9) סינוס של זווית משולשת sin(3α) = 3sin(α)cos 2 (α) - sin 3 (α) (10) קוסינוס של זווית משולשת cos(3α) = cos 3 (α) - 3cos(α)sin 2 (α) (11) קוסינוס הסכום/הפרש cos(α±β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β) (12) סינוס הסכום/הפרש sin(α±β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β) (13) טנגנט של הסכום/הפרש (14) קוטנגנט של הסכום/הפרש (15) תוצר של סינוסים sin(α)sin(β) = ½(cos(α-β) - cos(α+β)) (16) תוצר של קוסינוסים cos(α)cos(β) = ½(cos(α+β) + cos(α-β)) (17) תוצר של סינוס וקוסינוס sin(α)cos(β) = ½(sin(α+β) + sin(α-β)) (18) סכום/הפרש של סינוסים sin(α) ± sin(β) = 2sin(½(α±β))cos(½(α∓β)) (19) סכום הקוסינוסים cos(α) + cos(β) = 2cos(½(α+β))cos(½(α-β)) (20) הבדל של קוסינוסים cos(α) - cos(β) = -2sin(½(α+β))sin(½(α-β)) (21) סכום/הפרש של משיקים (22) נוסחה להפחתת מידת הסינוס sin 2 (α) = ½(1 - cos(2α)) (23) נוסחה להפחתת מידת הקוסינוס cos 2 (α) = ½(1 + cos(2α)) (24) סכום/הפרש של סינוס וקוסינוס (25) סכום/הפרש של סינוס וקוסינוס עם מקדמים (26) היחס הבסיסי של ארקסינוס וארקוסינוס arcsin(x) + arccos(x) = π/2 (27) מערכת יחסים בסיסית בין arctangent ו- arccotangent arctan(x) + arcctg(x) = π/2

נוסחאות כלליות

- גרסה מודפסת

הגדרות סינוס של זווית α (יִעוּד sin(α)) הוא היחס בין הרגל הפוכה לזווית α לתחתית. קוסינוס זווית α (יִעוּד cos(α)) הוא היחס בין הרגל הסמוכה לזווית α לבין היריעה. זווית משיק α (יִעוּד tan(α)) הוא היחס בין הצלע המנוגדת לזווית α לצלע הסמוכה. הגדרה מקבילה היא היחס בין הסינוס של זווית α לקוסינוס של אותה זווית - sin(α)/cos(α). קוטנגנט של זווית α (יִעוּד cotg(α)) הוא היחס בין הרגל הסמוכה לזווית α לזווית הנגדית. הגדרה מקבילה היא היחס בין הקוסינוס של זווית α לסינוס של אותה זווית - cos(α)/sin(α). פונקציות טריגונומטריות אחרות: חוֹתֵך — sec(α) = 1/cos(α); קוסקאנט - cosec(α) = 1/sin(α). הערה אנחנו לא כותבים ספציפית את הסימן * (כפל) - כאשר שתי פונקציות נכתבות בשורה, ללא רווח, זה מרומז. רֶמֶז כדי לגזור נוסחאות לקוסינוס, סינוס, טנגנס או קוטנגנט של זוויות מרובות (4+), מספיק לכתוב אותן לפי הנוסחאות בהתאמה. קוסינוס, סינוס, טנגנס או קוטנגנט של הסכום, או צמצום למקרים הקודמים, צמצום לנוסחאות של זוויות משולשות וכפולות. חיבור טבלת נגזרות

בעת ביצוע המרות טריגונומטריות, פעל לפי הטיפים הבאים:

אל תנסה להמציא מיד פתרון לדוגמה מתחילתו ועד סופו.
אל תנסה להמיר את כל הדוגמה בבת אחת. תעשה צעדים קטנים קדימה.
זכור שבנוסף לנוסחאות טריגונומטריות בטריגונומטריה, אתה עדיין יכול להשתמש בכל התמורות האלגבריות ההוגן (סוגריים בסוגריים, שברים מקצרים, נוסחאות כפל מקוצר וכן הלאה).
תאמין שהכל יהיה בסדר.

נוסחאות טריגונומטריות בסיסיות

רוב הנוסחאות בטריגונומטריה משמשות לעתים קרובות הן מימין לשמאל והן משמאל לימין, אז אתה צריך ללמוד את הנוסחאות האלה כל כך טוב שאתה יכול בקלות ליישם נוסחה כלשהי בשני הכיוונים. תחילה נכתוב את ההגדרות של פונקציות טריגונומטריות. שיהיה משולש ישר זווית:

ואז, ההגדרה של סינוס:

הגדרה של קוסינוס:

הגדרת טנג'נט:

הגדרה של קוטנגנט:

זהות טריגונומטרית בסיסית:

ההשלכות הפשוטות ביותר מהזהות הטריגונומטרית הבסיסית:

נוסחאות זווית כפולה.סינוס של זווית כפולה:

קוסינוס של זווית כפולה:

טג'נט של זווית כפולה:

קוטנגנט של זווית כפולה:

נוסחאות טריגונומטריות נוספות

נוסחאות חיבור טריגונומטריות.סינוס הסכום:

סידי ההבדל:

קוסינוס הסכום:

הקוסינוס של ההבדל:

טנג'נט של הסכום:

נגיעה של הבדל:

קוטננט של הכמות:

קוטנגנט של ההבדל:

נוסחאות טריגונומטריות להמרת סכום למוצר.סכום הסינוסים:

הבדל סינוס:

סכום הקוסינוסים:

הבדל של קוסינוסים:

סכום המשיקים:

הבדל טנגנטי:

סכום הקוטנגנטים:

הבדל קוטנגנט:

נוסחאות טריגונומטריות להמרת מוצר לסכום.תוצר של סינוסים:

תוצר של סינוס וקוסינוס:

תוצר של קוסינוסים:

נוסחאות הפחתת תארים.

נוסחאות חצי זווית.

נוסחאות הפחתה טריגונומטרית

פונקציית הקוסינוס נקראת שיתוף פעולהפונקציות סינוס ולהיפך. באופן דומה, הפונקציות המשיקות והקוטנגנטיות הן פונקציות שיתוף. ניתן לנסח נוסחאות הפחתה ככלל הבא:

אם בנוסחת ההפחתה מופחתת (מוסיפה) זווית מ-90 מעלות או 270 מעלות, אזי הפונקציה המופחתת משתנה ל-cofunction;
אם בנוסחת ההפחתה הזווית מופחתת (מוסיפה) מ-180 מעלות או 360 מעלות, אזי השם של הפונקציה המופחתת נשמר;
במקרה זה, הסימן שיש לפונקציה המופחתת (כלומר, המקורית) ברביע המקביל ממוקם מול הפונקציה המופחתת, אם ניקח בחשבון את הזווית המופחתת (הנוספת) כחריפה.

נוסחאות הפחתהניתנים בצורת טבלה:

על ידי מעגל טריגונומטריקל לקבוע ערכים טבלאיים של פונקציות טריגונומטריות:

משוואות טריגונומטריות

כדי לפתור משוואה טריגונומטרית מסוימת, יש לצמצם אותה לאחת המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר, עליהן נדון להלן. לזה:

אתה יכול להשתמש בנוסחאות הטריגונומטריות המפורטות לעיל. יחד עם זאת, אתה לא צריך לנסות לשנות את הדוגמה כולה בבת אחת, אלא אתה צריך להתקדם בצעדים קטנים.
אסור לנו לשכוח את האפשרות לשנות ביטוי כלשהו באמצעות שיטות אלגבריות, כלומר. למשל, להוציא משהו מסוגריים או להיפך, לפתוח סוגריים, להקטין שבר, להחיל נוסחת כפל מקוצרת, להביא שברים למכנה משותף, וכן הלאה.
בעת פתרון משוואות טריגונומטריות, אתה יכול להשתמש שיטת קיבוץ. יש לזכור שכדי שהמכפלה של מספר גורמים תהיה שווה לאפס, מספיק שכל אחד מהם יהיה שווה לאפס, וכן השאר היה קיים.
מגיש בקשה שיטת החלפה משתנה, כרגיל, המשוואה לאחר הצגת ההחלפה צריכה להיות פשוטה יותר ולא להכיל את המשתנה המקורי. אתה גם צריך לזכור לבצע החלפה הפוכה.
זכור שמשוואות הומוגניות מופיעות לרוב בטריגונומטריה.
בעת פתיחת מודולים או פתרון משוואות אי-רציונליות עם פונקציות טריגונומטריות, עליך לזכור ולקחת בחשבון את כל הדקויות של פתרון המשוואות המתאימות עם פונקציות רגילות.
זכרו לגבי ODZ (במשוואות טריגונומטריות, ההגבלות על ODZ מסתכמות בעיקר בעובדה שאי אפשר לחלק באפס, אבל אל תשכחו מגבלות אחרות, במיוחד לגבי החיוביות של ביטויים בחזקות רציונליות ומתחת לשורשים של כוחות זוגיים). זכור גם שהערכים של סינוס וקוסינוס יכולים להיות רק בטווח מינוס אחד ועד פלוס אחד, כולל.

העיקר הוא שאם אתה לא יודע מה לעשות, תעשה לפחות משהו, והעיקר להשתמש בנוסחאות טריגונומטריות בצורה נכונה. אם מה שאתה מקבל משתפר יותר ויותר, אז המשך בפתרון, ואם הוא מחמיר, אז חזור להתחלה ותנסה ליישם נוסחאות אחרות, עשה זאת עד שתתקל בפתרון הנכון.

נוסחאות לפתרונות של המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר.עבור סינוס קיימות שתי צורות שוות לכתיבת הפתרון:

עבור פונקציות טריגונומטריות אחרות, הסימון הוא חד משמעי. עבור קוסינוס:

למשיק:

עבור cotangent:

פתרון משוואות טריגונומטריות במקרים מיוחדים:

למד את כל הנוסחאות והחוקים בפיזיקה, ונוסחאות ושיטות במתמטיקה. למעשה, זה גם מאוד פשוט לביצוע: יש רק כ-200 נוסחאות הכרחיות בפיזיקה, ואפילו קצת פחות במתמטיקה. בכל אחד מהמקצועות הללו קיימות כתריסר שיטות סטנדרטיות לפתרון בעיות ברמת מורכבות בסיסית, שגם אותן ניתן ללמוד, וכך, באופן אוטומטי לחלוטין וללא קושי לפתור את רוב ה-CT בזמן הנכון. לאחר מכן, תצטרך לחשוב רק על המשימות הקשות ביותר.

השתתף בכל שלושת השלבים של בדיקות החזרות בפיזיקה ובמתמטיקה. כל RT ניתן לבקר פעמיים כדי להחליט על שתי האפשרויות. שוב, ב-CT, בנוסף ליכולת לפתור בעיות במהירות וביעילות, והכרת נוסחאות ושיטות, עליך להיות מסוגל גם לתכנן נכון זמן, לחלק כוחות, והכי חשוב למלא נכון את טופס התשובה, ללא מבלבל את מספר התשובות והבעיות, או את שם המשפחה שלך. כמו כן, במהלך RT, חשוב להתרגל לסגנון שאילת שאלות בבעיות, שעלול להיראות חריג מאוד לאדם לא מוכן ב-DT.

יישום מוצלח, חרוץ ואחראי של שלוש הנקודות הללו, כמו גם לימוד אחראי של מבחני ההכשרה הסופיים, יאפשרו לכם להראות תוצאה מצוינת ב-CT, המקסימום ממה שאתם מסוגלים.

מצאתם טעות?

אם אתה חושב שמצאת שגיאה בחומרי ההדרכה, אנא כתוב עליה במייל (). במכתב ציינו את הנושא (פיזיקה או מתמטיקה), שם או מספר הנושא או המבחן, מספר הבעיה או המקום בטקסט (עמוד) שבו, לדעתכם, יש טעות. תאר גם מהי החשד לשגיאה. מכתבך לא ייעלם מעיניהם, או שהשגיאה תתוקן, או שיוסבר לך מדוע אין מדובר בטעות.

קשרים בין פונקציות טריגונומטריות בסיסיות - סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי- נשאלים נוסחאות טריגונומטריות. ומכיוון שיש די הרבה קשרים בין פונקציות טריגונומטריות, זה מסביר את שפע הנוסחאות הטריגונומטריות. חלק מהנוסחאות מחברות פונקציות טריגונומטריות של אותה זווית, אחרות - פונקציות של זווית מרובה, אחרות - מאפשרות להקטין את המעלה, רביעית - מבטאות את כל הפונקציות דרך הטנגנס של חצי זווית וכו'.

ניווט בדף.

זהויות טריגונומטריות בסיסיות

זהויות טריגונומטריות בסיסיותלהגדיר את הקשר בין סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של זווית אחת. הם נובעים מההגדרה של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט, כמו גם מושגי מעגל יחידה. הם מאפשרים לך לבטא פונקציה טריגונומטרית אחת במונחים של כל פונקציה אחרת.

לתיאור מפורט של נוסחאות טריגונומטריה אלה, גזירתן ודוגמאות ליישום, עיין במאמר.

נוסחאות הפחתה

נוסחאות הפחתהלעקוב מ תכונות של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי, כלומר, הם משקפים את תכונת המחזוריות של פונקציות טריגונומטריות, תכונת הסימטריה, כמו גם תכונת ההסטה בזווית נתונה. נוסחאות טריגונומטריות אלו מאפשרות לך לעבור מעבודה עם זוויות שרירותיות לעבודה עם זוויות הנעות בין אפס ל-90 מעלות.

ניתן ללמוד במאמר את הרציונל לנוסחאות אלו, כלל מנמוני לשינון ודוגמאות ליישום שלהן.

נוסחאות תוספת

נוסחאות לדאבל, טריפל וכו'. זָוִית

מידע מפורט יותר נאסף במאמר נוסחאות לכפול, משולש וכו'. זָוִית.

נוסחאות חצי זווית

המסקנה שלהם ודוגמאות ליישום ניתן למצוא במאמר.

נוסחאות הפחתת תארים

נוסחאות לסכום והפרש של פונקציות טריגונומטריות

נוסחאות למכפלה של סינוסים, קוסינוסים וסינוס אחר קוסינוס

המעבר מהמכפלה של פונקציות טריגונומטריות לסכום או הפרש מתבצע באמצעות נוסחאות למכפלה של סינוסים, קוסינוסים וסינוס אחר קוסינוס.

החלפה טריגונומטרית אוניברסלית

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

אַלגֶבּרָה:ספר לימוד לכיתה ט'. ממוצע בית ספר/יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; אד. ש"א טליקובסקי. - מ.: חינוך, 1990. - 272 עמ': איל. - ISBN 5-09-002727-7
בשמקוב מ.י.אלגברה והתחלות הניתוח: ספר לימוד. לכיתות י'-י"א. ממוצע בית ספר - מהדורה שלישית. - מ.: חינוך, 1993. - 351 עמ': ill. - ISBN 5-09-004617-4.
אַלגֶבּרָהותחילת הניתוח: פרוק. לכיתות י'-י"א. חינוך כללי מוסדות / א.נ. קולמוגורוב, א.מ. אברמוב, יו.פ. דודניצין ואחרים; אד. א.נ. קולמוגורוב. - מהדורה 14 - מ.: חינוך, 2004. - 384 עמ': איל. - ISBN 5-09-013651-3.
Gusev V. A., Mordkovich A. G.מתמטיקה (מדריך למי שנכנס לבתי ספר טכניים): פרוק. קצבה.- מ.; גבוה יותר בית ספר, 1984.-351 עמ', ill.

זכויות יוצרים של תלמידי חכמים

כל הזכויות שמורות.
מוגן בחוק זכויות יוצרים. אין לשכפל כל חלק מהאתר, לרבות חומרים פנימיים ומראה, בכל צורה או שימוש ללא אישור מראש ובכתב מבעל זכויות היוצרים.