משיעורי המתמטיקה בבית הספר כולם זוכרים גרף סינוס שנמתח למרחקים בגלים אחידים. לפונקציות רבות אחרות יש תכונה דומה - חוזרת לאחר מרווח מסוים. הם נקראים תקופתיים. מחזוריות היא תכונה חשובה מאוד של פונקציה, אותה נתקלים לעתים קרובות במשימות שונות. לכן, כדאי להיות מסוגל לקבוע אם פונקציה היא תקופתית.

הוראות

• אם F(x) היא פונקציה של הארגומנט x, אז זה נקרא מחזורי אם יש מספר T כך שלכל x F(x + T) = F(x). המספר הזה T נקרא התקופה של הפונקציה.יכולות להיות מספר נקודות. לדוגמה, הפונקציה F = const לוקחת את אותו ערך עבור כל ערך של הארגומנט, ולכן כל מספר יכול להיחשב לתקופה שלו. מתמטיקאים מתעניינים בדרך כלל בתקופה הקטנה ביותר שאינה אפס של פונקציה. לקיצור, זה נקרא פשוט תקופה.
• דוגמה קלאסית לפונקציות מחזוריות היא טריגונומטרית: סינוס, קוסינוס וטנגנס. התקופה שלהם זהה ושווה ל-2π, כלומר sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) וכן הלאה. עם זאת, כמובן, פונקציות טריגונומטריות אינן המחזוריות היחידות.
• עבור פונקציות פשוטות ובסיסיות, הדרך היחידה לקבוע אם הן מחזוריות או לא מחזוריות היא באמצעות חישוב. אבל עבור פונקציות מורכבות יש כבר כמה כללים פשוטים.
• אם F(x) היא פונקציה מחזורית עם תקופה T, ומוגדרת לה נגזרת, אז הנגזרת הזו f(x) = F′(x) היא גם פונקציה מחזורית עם תקופה T. אחרי הכל, הערך של ה- הנגזרת בנקודה x שווה לטנגנס של גרף זווית המשיק הנגזרת האנטי-נגזרת שלה בנקודה זו לציר ה-x, ומכיוון שהנגזרת חוזרת על עצמה מעת לעת, יש לחזור גם על הנגזרת. לדוגמה, הנגזרת של הפונקציה sin(x) שווה ל-cos(x), והיא מחזורית. נטילת הנגזרת של cos(x) נותנת לך –sin(x). התדירות נותרת ללא שינוי, אולם לא תמיד ההפך הוא הנכון. לפיכך, הפונקציה f(x) = const היא מחזורית, אך הנגזרת האנטי-נגזרת שלה F(x) = const*x + C אינה.
• אם F(x) היא פונקציה מחזורית עם תקופה T, אז G(x) = a*F(kx + b), כאשר a, b ו-k הם קבועים ו-k אינו שווה לאפס - היא גם פונקציה מחזורית , והתקופה שלו היא T/k. לדוגמה, sin(2x) היא פונקציה מחזורית, והתקופה שלה היא π. זה יכול להיות מיוצג ויזואלית באופן הבא: על ידי הכפלת x במספר כלשהו, ​​נראה שאתה דוחס את הגרף של הפונקציה בצורה אופקית בדיוק כל כך הרבה פעמים
• אם F1(x) ו-F2(x) הן פונקציות מחזוריות, והתקופות שלהן שוות ל-T1 ו-T2, בהתאמה, אז סכום הפונקציות הללו יכול להיות גם מחזורי. עם זאת, התקופה שלו לא תהיה סכום פשוט של תקופות T1 ו-T2. אם תוצאת החלוקה T1/T2 היא מספר רציונלי, אזי סכום הפונקציות הוא מחזורי, והתקופה שלו שווה לכפולה הפחות משותפת (LCM) של התקופות T1 ו-T2. לדוגמה, אם התקופה של הפונקציה הראשונה היא 12, והתקופה של השנייה היא 15, אז התקופה של הסכום שלהם תהיה שווה ל-LCM (12, 15) = 60. ניתן לייצג זאת באופן ויזואלי באופן הבא: פונקציות מגיעות עם "רוחבי צעדים" שונים, אבל אם היחס בין הרוחבים שלהן באופן רציונלי, אז במוקדם או במאוחר (או ליתר דיוק, דווקא דרך ה-LCM של הצעדים), הם יחזרו להיות שווים, והסכום שלהם יתחיל תקופה חדשה.
• עם זאת, אם היחס בין התקופות הוא לא רציונלי, אז הפונקציה הכוללת לא תהיה מחזורית כלל. לדוגמה, תן F1(x) = x mod 2 (השאר כאשר x מחולק ב-2), ו-F2(x) = sin(x). T1 כאן יהיה שווה ל-2, ו-T2 יהיה שווה ל-2π. יחס התקופות שווה ל-π - מספר אי רציונלי. לכן, הפונקציה sin(x) + x mod 2 אינה מחזורית.

משיעורי המתמטיקה בבית הספר כולם זוכרים גרף סינוס שנמתח למרחקים בגלים אחידים. לפונקציות רבות אחרות יש תכונה דומה - חוזרות במרווח מסוים. הם נקראים תקופתיים. מחזוריות היא איכות משמעותית מאוד של פונקציה, שנמצאת לעתים קרובות במשימות שונות. כתוצאה מכך, זה מועיל להיות מסוגל לקבוע אם פונקציה היא תקופתית.

הוראות

1. אם F(x) היא פונקציה של ארגומנט x, אז זה נקרא מחזורי אם יש מספר T כך שלכל x F(x + T) = F(x). המספר הזה T נקרא התקופה של הפונקציה.יכולות להיות מספר נקודות. נניח שהפונקציה F = const לוקחת את אותו ערך עבור כל הערכים של הארגומנט, ולכן כל מספר יכול להיחשב לתקופה שלו. באופן מסורתי, מתמטיקה עוסקת בפרק הזמן המינימלי שאינו אפס של פונקציה. למען הקיצור, היא נקראת התקופה הפרימיטיבית.

2. דוגמה טיפוסית לפונקציות מחזוריות היא טריגונומטרית: סינוס, קוסינוס וטנגנס. התקופה שלהם זהה ושווה ל-2?, כלומר sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) וכן הלאה. עם זאת, כמובן, פונקציות טריגונומטריות אינן תקופתיות בלבד.

3. לגבי פונקציות פרימיטיביות, בסיסיות, השיטה היחידה לקבוע את המחזוריות או אי המחזוריות שלהן היא חישובים. אבל עבור פונקציות קשות יש כבר כמה כללים פרימיטיביים.

4. אם F(x) היא פונקציה מחזורית עם תקופה T, ומוגדרת עבורה נגזרת, אז הנגזרת הזו f(x) = F?(x) היא גם פונקציה מחזורית עם תקופה T. ערך הנגזרת בנקודה x שווה לטנגנס של זווית המשיק הגרף של הנגזרת האנטי-נגזרת שלו בנקודה זו לציר ה-x, ומכיוון שהאנטי-נגזרת חוזרת על עצמה מעת לעת, יש לחזור גם על הנגזרת. נניח שהנגזרת של הפונקציה sin(x) שווה ל-cos(x), והיא מחזורית. נטילת הנגזרת של cos(x) נותנת לך –sin(x). המחזוריות נשארת קבועה, אולם לא תמיד ההפך הוא הנכון. לפיכך, הפונקציה f(x) = const היא מחזורית, אך הנגזרת האנטי-נגזרת שלה F(x) = const*x + C אינה.

5. אם F(x) היא פונקציה מחזורית עם תקופה T, אז G(x) = a*F(kx + b), כאשר a, b ו-k הם קבועים ו-k אינו שווה לאפס - היא גם פונקציה מחזורית , והתקופה שלו היא T/k. נניח שsin(2x) הוא פונקציה מחזורית, והתקופה שלה שווה ל?. זה יכול להיות מיוצג ויזואלית באופן הבא: על ידי הכפלת x במספר כלשהו, ​​נראה שאתה דוחס את הגרף של הפונקציה בצורה אופקית בדיוק כל כך הרבה פעמים

6. אם F1(x) ו-F2(x) הן פונקציות מחזוריות, והתקופות שלהן שוות ל-T1 ו-T2, בהתאמה, אז סכום הפונקציות הללו יכול להיות גם מחזורי. עם זאת, התקופה שלו לא תהיה סכום קל של תקופות T1 ו-T2. אם תוצאת החלוקה T1/T2 היא מספר סביר, אזי סכום הפונקציות הוא מחזורי, והתקופה שלו שווה לכפולה האוניברסלית הפחותה (LCM) של התקופות T1 ו-T2. נניח, אם התקופה של הפונקציה הראשונה היא 12, והתקופה של ה-2 היא 15, אז התקופה של הסכום שלהם תהיה שווה ל-LCM (12, 15) = 60. זה יכול להיות מיוצג ויזואלית באופן הבא: פונקציות מגיעים עם "רוחבי צעדים" שונים, אבל אם היחס ברוחב שלהם משמעותי, אז במוקדם או במאוחר (או ליתר דיוק, דווקא דרך LCM של צעדים), הם יחזרו להיות שווים, והסכום שלהם יתחיל את התקופה החדשה.

7. עם זאת, אם היחס בין התקופות הוא לא רציונלי, אז הפונקציה הכוללת לא תהיה תקופתית כלל. נניח נניח F1(x) = x mod 2 (השאר של חלוקת x ב-2), ו-F2(x) = sin(x). T1 כאן יהיה שווה ל-2, ו-T2 יהיה שווה ל-2?. האם יחס התקופות שווה? - מספר לא רציונלי. כתוצאה מכך, הפונקציה sin(x) + x mod 2 אינה מחזורית.

לפונקציות מתמטיות רבות יש תכונה אחת ספציפית שמקלה על בנייתן - זהו תְקוּפָתִיוּת, כלומר, יכולת החזרה של הגרף על רשת קואורדינטות במרווחים שווים.

הוראות

1. הפונקציות המחזוריות הידועות ביותר במתמטיקה הן הסינוס והקוסינוס. לפונקציות אלו אופי דמוי גל ותקופת ציר השווה ל-2P. גם מקרה מיוחד של פונקציה מחזורית הוא f(x)=const. כל מספר מתאים למיקום x; לפונקציה הזו אין נקודה עיקרית, מכיוון שהיא קו ישר.

2. באופן כללי, פונקציה היא מחזורית אם קיים מספר שלם N שאינו אפס ועומד בחוק f(x)=f(x+N), ובכך מבטיח חזרה. התקופה של פונקציה היא המספר הקטן ביותר N, אך לא אפס. כלומר, נניח, הפונקציה sin x שווה לפונקציה sin (x+2ПN), כאשר N=±1, ±2 וכו'.

3. לפעמים, לפונקציה עשוי להיות מכפיל (נניח, חטא פי 2), כזה שיגדיל או יקטין את תקופת הפונקציה. על מנת לזהות את התקופה על ידי גרָפִיקָה, אתה צריך לקבוע את הקיצוניות של הפונקציה - הנקודות הגבוהות והנמוכות ביותר של גרף הפונקציה. מכיוון שלגלי הסינוס והקוסינוס יש אופי דמוי גל, זה די קל לעשות. מנקודות אלה, בנה קווים ישרים מאונכים עד שהם מצטלבים עם ציר X.

4. המרחק מהקצה העליון לתחתון יהיה מחצית מתקופת הפונקציה. לכולם נוח יותר לחשב את התקופה ממפגש הגרף עם ציר Y ובהתאם גם את סימן האפס בציר ה-x. לאחר מכן, עליך להכפיל את הערך המתקבל בשניים ולקבל את תקופת הציר של הפונקציה.

5. כדי לפשט את הבנייה של גרפי סינוס וקוסינוס, יש לשים לב שאם לפונקציה יש ערך שלם, התקופה שלה תתארך (כלומר יש להכפיל 2P במדד זה) והגרף ייראה רך וחלק יותר ; ואם המספר הוא חלקי, להיפך, הוא יקטן והגרף יהפוך ל"חד" יותר, כמו קפיצה במראהו.

סרטון על הנושא

הוראות

הכי פחות חיובי פרק זמןגם קוסינוס שווה ל-2?. שקול את ההוכחה לכך עם דוגמה פונקציות y=cos(x). אם T שרירותית פרק זמן om cosine, ואז cos(a+T)=cos(a). במקרה ש-a=0, cos(T)=cos(0)=1. לאור זאת, הערך החיובי הקטן ביותר של T שבו cos(x) = 1 הוא 2?.

בהתחשב בעובדה ש-2? – פרק זמןסינוס וקוסינוס, זה גם יהיה פרק זמן ohm cotangent, כמו גם משיק, אבל לא מינימלי, שכן, כמו, החיובי הקטן ביותר פרק זמןמשיק וקוטנגנט שווים?. אתה יכול לאמת זאת על ידי התחשבות בדברים הבאים: לנקודות המתאימות ל-(x) ו-(x+?) במעגל הטריגונומטרי יש מיקומים מנוגדים בקוטר. המרחק מנקודה (x) לנקודה (x+2?) מתאים לחצי עיגול. לפי ההגדרה של משיק וקוטנגנט tg(x+?)=tgx, ו-ctg(x+?)=ctgx, שפירושו החיובי הקטן ביותר פרק זמןקוטנגנט ו?.

הערה

אל תבלבלו בין הפונקציות y=cos(x) ו-y=sin(x) - עם אותה תקופה, פונקציות אלו מיוצגות בצורה שונה.

עצה מועילה

לבהירות רבה יותר, צייר פונקציה טריגונומטרית שעבורה מחושבת התקופה החיובית הקטנה ביותר.

מקורות:

• מדריך למתמטיקה, מתמטיקה בית ספרית, מתמטיקה גבוהה יותר

טריגונומטרי פונקציות תְקוּפָתִי, כלומר, הם חוזרים על עצמם לאחר תקופה מסוימת. הודות לכך, מספיק ללמוד את הפונקציה במרווח זה ולהרחיב את המאפיינים שנמצאו לכל התקופות האחרות.

הוראות

כדי למצוא את התקופה של פונקציה טריגונומטרית שהועלתה לחזקה, הערך את השוויון של החזקה. להפחית את תקופת התקן בחצי. לדוגמה, אם ניתנת לך הפונקציה y=3 cos^2x, אז התקופה הסטנדרטית 2P תקטן פי 2, כך שהתקופה תהיה שווה ל-P. שימו לב שהפונקציות tg, ctg הן מחזוריות ל-P לכל אחד תוֹאַר.

משיעורי המתמטיקה בבית הספר כולם זוכרים גרף סינוס שנמתח למרחקים בגלים אחידים. לפונקציות רבות אחרות יש תכונה דומה - חוזרת לאחר מרווח מסוים. הם נקראים תקופתיים. מחזוריות היא תכונה חשובה מאוד של פונקציה, אותה נתקלים לעתים קרובות במשימות שונות. לכן, כדאי להיות מסוגל לקבוע אם פונקציה היא תקופתית.

הוראות

אם F(x) היא פונקציה של הארגומנט x, אז זה נקרא מחזורי אם יש מספר T כך שלכל x F(x + T) = F(x). המספר הזה T נקרא התקופה של הפונקציה.

יכולות להיות מספר תקופות. לדוגמה, הפונקציה F = const לוקחת את אותו ערך עבור כל ערך של הארגומנט, ולכן כל מספר יכול להיחשב לתקופה שלו.

מתמטיקאים מתעניינים בדרך כלל בתקופה הלא-אפס הקטנה ביותר של פונקציה. לקיצור, זה נקרא פשוט תקופה.

דוגמה קלאסית לפונקציות מחזוריות היא טריגונומטרית: סינוס, קוסינוס וטנגנס. התקופה שלהם זהה ושווה ל-2?, כלומר sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) וכן הלאה. עם זאת, כמובן, פונקציות טריגונומטריות אינן המחזוריות היחידות.

עבור פונקציות פשוטות ובסיסיות, הדרך היחידה לקבוע אם הן מחזוריות או לא מחזוריות היא באמצעות חישוב. אבל עבור פונקציות מורכבות יש כבר כמה כללים פשוטים.

אם F(x) היא פונקציה מחזורית עם תקופה T, ומוגדרת עבורה נגזרת, אז הנגזרת הזו f(x) = F?(x) היא גם פונקציה מחזורית עם תקופה T. הרי הערך של ה- הנגזרת בנקודה x שווה לטנגנס של גרף זווית המשיק הנגזרת האנטי-נגזרת שלה בנקודה זו לציר ה-x, ומכיוון שהנגזרת חוזרת על עצמה מעת לעת, יש לחזור גם על הנגזרת. לדוגמה, הנגזרת של הפונקציה sin(x) שווה ל-cos(x), והיא מחזורית. נטילת הנגזרת של cos(x) נותנת לך –sin(x). התדירות נשארת ללא שינוי.

עם זאת, לא תמיד ההפך הוא הנכון. לפיכך, הפונקציה f(x) = const היא מחזורית, אך הנגזרת האנטי-נגזרת שלה F(x) = const*x + C אינה.

אם F(x) היא פונקציה מחזורית עם תקופה T, אז G(x) = a*F(kx + b), כאשר a, b ו-k הם קבועים ו-k אינו שווה לאפס - היא גם פונקציה מחזורית , והתקופה שלו היא T/k. לדוגמה, sin(2x) היא פונקציה מחזורית, והתקופה שלה שווה ל?. זה יכול להיות מיוצג ויזואלית באופן הבא: על ידי הכפלת x במספר כלשהו, ​​נראה שאתה דוחס את הגרף של הפונקציה בצורה אופקית בדיוק כל כך הרבה פעמים

אם F1(x) ו-F2(x) הן פונקציות מחזוריות, והתקופות שלהן שוות ל-T1 ו-T2, בהתאמה, אז סכום הפונקציות הללו יכול להיות גם מחזורי. עם זאת, התקופה שלו לא תהיה סכום פשוט של תקופות T1 ו-T2. אם תוצאת החלוקה T1/T2 היא מספר רציונלי, אזי סכום הפונקציות הוא מחזורי, והתקופה שלו שווה לכפולה הפחות משותפת (LCM) של התקופות T1 ו-T2. לדוגמה, אם התקופה של הפונקציה הראשונה היא 12, והתקופה של השנייה היא 15, אז תקופת הסכום שלהם תהיה שווה ל-LCM (12, 15) = 60.

זה יכול להיות מיוצג ויזואלית באופן הבא: פונקציות מגיעות עם "רוחבי צעדים" שונים, אבל אם היחס בין הרוחבים שלהן הוא רציונלי, אז במוקדם או במאוחר (או ליתר דיוק, דווקא דרך ה-LCM של השלבים), הם יחזרו להיות שווים, ו הסכום שלהם יתחיל תקופה חדשה.

עם זאת, אם היחס בין התקופות הוא לא רציונלי, אז הפונקציה הכוללת לא תהיה תקופתית כלל. לדוגמה, תן F1(x) = x mod 2 (השאר כאשר x מחולק ב-2), ו-F2(x) = sin(x). T1 כאן יהיה שווה ל-2, ו-T2 יהיה שווה ל-2?. האם יחס התקופות שווה? - מספר לא רציונלי. לכן, הפונקציה sin(x) + x mod 2 אינה מחזורית.

לפונקציות מתמטיות רבות יש תכונה אחת שמקלה על בנייתן: תְקוּפָתִיוּת, כלומר, יכולת החזרה של הגרף על רשת קואורדינטות במרווחי זמן קבועים.

הוראות

הפונקציות המחזוריות המפורסמות ביותר במתמטיקה הן פונקציות הסינוס והקוסינוס. לפונקציות אלו יש אופי דמוי גל ותקופה עיקרית של 2P. גם מקרה מיוחד של פונקציה מחזורית הוא f(x)=const. כל מספר מתאים למיקום x; לפונקציה זו אין נקודה עיקרית, מכיוון שהיא קו ישר.

באופן כללי, פונקציה היא מחזורית אם קיים מספר שלם N שאינו אפס ועומד בחוק f(x)=f(x+N), ובכך מבטיח חזרה. התקופה של פונקציה היא המספר הקטן ביותר N, אך לא אפס. כלומר, למשל, הפונקציה sin x שווה לפונקציה sin (x+2ПN), כאשר N=±1, ±2 וכו'.

לפעמים לפונקציה עשוי להיות מכפיל (לדוגמה, sin 2x), שיגדיל או יקטין את תקופת הפונקציה. על מנת למצוא את התקופה לפי גרָפִיקָה, יש צורך לקבוע את הקיצוניות של הפונקציה - הנקודות הגבוהות והנמוכות ביותר של גרף הפונקציה. מכיוון שלגלי סינוס וקוסינוס יש אופי דמוי גל, זה די קל לעשות. מנקודות אלה, בנה קווים ישרים מאונכים עד שהם מצטלבים עם ציר X.

המרחק מהקצה העליון לתחתון יהיה מחצית מתקופת הפונקציה. הכי נוח לחשב את התקופה מהצלבה של הגרף עם ציר Y ובהתאם, את סימן האפס בציר ה-x. לאחר מכן, עליך להכפיל את הערך המתקבל בשניים ולקבל את התקופה העיקרית של הפונקציה.

כדי לפשט את בניית גרפי הסינוס והקוסינוס, יש לשים לב שאם לפונקציה יש ערך שלם, אז התקופה שלה תתארך (כלומר יש להכפיל את 2P במקדם זה) והגרף ייראה רך יותר, חלק יותר - ו אם המספר הוא חלקי, להיפך, הוא יקטן והגרף יהפוך ל"חד" יותר ומקפיץ במראהו.

כיצד ללמוד פונקציה ולבנות את הגרף שלה?

נדמה שאני מתחיל להבין את פניו מלאות התובנה הרוחנית של מנהיג הפרולטריון העולמי, מחברם של יצירות אסופות ב-55 כרכים... המסע הארוך התחיל עם מידע בסיסי על פונקציות וגרפים, ועכשיו העבודה על נושא עתיר עבודה מסתיימת בתוצאה הגיונית - מאמר על לימוד מלא של הפונקציה. המשימה המיוחלת מנוסחת באופן הבא:

למד פונקציה באמצעות שיטות חשבון דיפרנציאלי ובנה את הגרף שלה על סמך תוצאות המחקר

או בקיצור: בחנו את הפונקציה ובנו גרף.

למה לחקור?במקרים פשוטים, לא יהיה לנו קשה להבין את הפונקציות היסודיות ולצייר גרף המתקבל באמצעות טרנספורמציות גיאומטריות יסודיותוכולי. עם זאת, המאפיינים והייצוגים הגרפיים של פונקציות מורכבות יותר רחוקים מלהיות ברורים, וזו הסיבה שיש צורך במחקר שלם.

השלבים העיקריים של הפתרון מסוכמים בחומר העזר תכנית לימודי תפקוד, זה המדריך שלך למדור. בובות צריך הסבר שלב אחר שלב של נושא, חלק מהקוראים לא יודעים איפה להתחיל או איך לארגן את המחקר שלהם, וסטודנטים מתקדמים עשויים להתעניין רק בכמה נקודות. אבל מי שלא תהיה, מבקר יקר, הסיכום המוצע עם מצביעים לשיעורים שונים יכוון וידריך אותך במהירות לכיוון העניין. הרובוטים הזילו דמעות =) המדריך היה מונח כקובץ pdf ותפס את מקומו הראוי בעמוד נוסחאות מתמטיות וטבלאות.

אני רגיל לחלק את המחקר של פונקציה ל-5-6 נקודות:

6) נקודות נוספות וגרף על סמך תוצאות המחקר.

לגבי הפעולה הסופית, אני חושב שהכל ברור לכולם - זה יהיה מאוד מאכזב אם תוך שניות מוחקים אותו והמשימה תוחזר לרוויזיה. ציור נכון ומדויק הוא התוצאה העיקרית של הפתרון! סביר להניח שהוא "יחפה" על טעויות אנליטיות, בעוד שתזמון שגוי ו/או רשלני יגרום לבעיות גם עם מחקר שנערך בצורה מושלמת.

יש לציין כי במקורות אחרים מספר נקודות המחקר, סדר ביצוען וסגנון העיצוב עשויים להיות שונים באופן משמעותי מהסכימה שהצעתי, אך ברוב המקרים זה מספיק בהחלט. הגרסה הפשוטה ביותר של הבעיה מורכבת מ-2-3 שלבים בלבד והיא מנוסחת בערך כך: "חקור את הפונקציה באמצעות הנגזרת ובנה גרף" או "חקור את הפונקציה באמצעות הנגזרת הראשונה והשנייה, בנה גרף."

באופן טבעי, אם המדריך שלך מתאר אלגוריתם אחר בפירוט או שהמורה שלך דורש ממך בקפדנות לדבוק בהרצאות שלו, אז תצטרך לבצע כמה התאמות לפתרון. לא יותר קשה מהחלפת מזלג מסור חשמלי בכפית.

בואו נבדוק את הפונקציה עבור זוגי/אי זוגי:

לאחר מכן תשובת תבנית:
, כלומר פונקציה זו אינה זוגית או אי זוגית.

מכיוון שהפונקציה רציפה ב- , אין אסימפטוטות אנכיות.

אין גם אסימפטוטות אלכסוניות.

הערה : אני מזכיר לך שהגבוה יותר סדר צמיחה, מאשר , לכן הגבול הסופי הוא בדיוק " ועודאינסוף."

בואו לגלות איך הפונקציה מתנהגת באינסוף:

במילים אחרות, אם נלך ימינה, אז הגרף הולך עד לאין שיעור למעלה, אם נלך שמאלה, הוא יורד לאין ערוך. כן, יש גם שתי מגבלות תחת כניסה אחת. אם אתה מתקשה לפענח את הסימנים, אנא בקר בשיעור בנושא פונקציות אינפיניטימיות.

אז הפונקציה לא מוגבל מלמעלהו לא מוגבל מלמטה. בהתחשב בכך שאין לנו נקודות שבירה, זה מתברר טווח פונקציות: – גם כל מספר ממשי.

טכניקה טכנית שימושית

כל שלב במשימה מביא מידע חדש על הגרף של הפונקציהלכן, במהלך הפתרון נוח להשתמש בסוג של LAYOUT. בואו נצייר מערכת קואורדינטות קרטזית על טיוטה. מה כבר ידוע בוודאות? ראשית, לגרף אין אסימפטוטות, ולכן אין צורך לצייר קווים ישרים. שנית, אנו יודעים כיצד הפונקציה מתנהגת באינסוף. על פי הניתוח, אנו מציירים קירוב ראשון:

שימו לב שבגלל הֶמשֵׁכִיוּת function on והעובדה שהגרף חייב לחצות את הציר לפחות פעם אחת. או שאולי יש כמה נקודות צומת?

3) אפסים של הפונקציה והמרווחים של סימן קבוע.

ראשית, בואו נמצא את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר הסמין. זה פשוט. יש צורך לחשב את ערך הפונקציה ב:

אחד וחצי מעל פני הים.

כדי למצוא את נקודות החיתוך עם הציר (אפסים של הפונקציה), צריך לפתור את המשוואה, וכאן מחכה לנו הפתעה לא נעימה:

יש חבר חופשי שאורב בסוף, מה שהופך את המשימה להרבה יותר קשה.

למשוואה כזו יש לפחות שורש אמיתי אחד, ולרוב השורש הזה הוא לא רציונלי. באגדה הגרועה ביותר, שלושת החזירים הקטנים מחכים לנו. המשוואה ניתנת לפתרון באמצעות מה שנקרא נוסחאות קרדנו, אבל הנזק לנייר דומה כמעט לכל המחקר. בהקשר זה, חכם יותר לנסות לבחור לפחות אחד, או מילולית או בטיוטה. כֹּלשורש. בוא נבדוק אם המספרים האלה הם:
- לא מתאים;
- יש!

מזל כאן. במקרה של כישלון, אתה יכול גם לבדוק, ואם המספרים האלה לא מתאימים, אז אני חושש שיש סיכוי קטן מאוד לפתרון רווחי למשוואה. אז עדיף לדלג לגמרי על נקודת המחקר - אולי משהו יתבהר בשלב הסופי, כשנקודות נוספות יפרצו. ואם השורש (ים) הם בבירור "רעים", אז עדיף לשתוק בצניעות לגבי מרווחי הקביעות של הסימנים ולצייר בזהירות רבה יותר.

עם זאת, יש לנו שורש יפה, אז אנחנו מחלקים את הפולינום ללא שארית:

האלגוריתם לחלוקת פולינום בפולינום נדון בפירוט בדוגמה הראשונה של השיעור גבולות מורכבים.

כתוצאה מכך, הצד השמאלי של המשוואה המקורית מתפרק למוצר:

ועכשיו קצת על אורח חיים בריא. אני, כמובן, מבין את זה משוואות ריבועיותצריך לפתור כל יום, אבל היום נעשה חריג: המשוואה יש שני שורשים אמיתיים.

הבה נתווה את הערכים שנמצאו על קו המספרים ו שיטת מרווחיםבוא נגדיר את הסימנים של הפונקציה:


כך, במרווחים לוח הזמנים נמצא
מתחת לציר ה-x, ובמרווחים - מעל הציר הזה.

הממצאים מאפשרים לנו לחדד את הפריסה שלנו, והקירוב השני של הגרף נראה כך:

שים לב שלפונקציה חייבת להיות לפחות מקסימום אחד במרווח, ולפחות מינימום אחד במרווח. אבל אנחנו עדיין לא יודעים כמה פעמים, איפה ומתי לוח הזמנים יעבור בלולאה. אגב, לפונקציה יכולים להיות אינסוף רבים קיצוניות.

4) עלייה, ירידה וקיצוניות של הפונקציה.

בואו למצוא נקודות קריטיות:

למשוואה זו יש שני שורשים אמיתיים. נניח אותם על קו המספרים ונקבע את הסימנים של הנגזרת:


לכן, הפונקציה גדלה ב- ויורד ב .
בנקודה שבה הפונקציה מגיעה למקסימום שלה: .
בשלב שבו הפונקציה מגיעה למינימום: .

עובדות מבוססות מובילות את התבנית שלנו למסגרת נוקשה למדי:

מיותר לציין שחשבון דיפרנציאלי הוא דבר חזק. בואו נבין סוף סוף את צורת הגרף:

5) נקודות קמור, קיעור והטיה.

בואו נמצא את הנקודות הקריטיות של הנגזרת השנייה:

בוא נגדיר את הסימנים:


הגרף של הפונקציה קמור על וקעור על . הבה נחשב את האורדינאטה של ​​נקודת הפיתול: .

כמעט הכל התברר.

6) נותר למצוא נקודות נוספות שיעזרו לכם לבנות גרף בצורה מדויקת יותר ולבצע בדיקה עצמית. במקרה זה יש מעט מהם, אך לא נזניח אותם:

בואו נעשה את הציור:

נקודת הפיתול מסומנת בירוק, נקודות נוספות מסומנות בצלבים. הגרף של פונקציה מעוקבת הוא סימטרי לגבי נקודת הפיתול שלה, הממוקמת תמיד רק באמצע בין המקסימום למינימום.

ככל שהמשימה התקדמה, סיפקתי שלושה ציורי ביניים היפותטיים. בפועל, מספיק לצייר מערכת קואורדינטות, לסמן את הנקודות שנמצאו, ולאחר כל נקודת מחקר להעריך מחשבתית איך גרף הפונקציה עשוי להיראות. לא יהיה קשה לתלמידים עם רמת הכנה טובה לבצע ניתוח כזה אך ורק בראשם מבלי לערב טיוטה.

כדי לפתור את זה בעצמך:

דוגמה 2

חקור את הפונקציה ובנה גרף.

הכל מהיר ומהנה יותר כאן, דוגמה משוערת לעיצוב הסופי בסוף השיעור.

חקר הפונקציות הרציונליות השבריות חושף סודות רבים:

דוגמה 3

השתמש בשיטות חשבון דיפרנציאלי כדי ללמוד פונקציה, ועל סמך תוצאות המחקר לבנות את הגרף שלה.

פִּתָרוֹן: השלב הראשון של המחקר אינו מובחן בשום דבר יוצא דופן, למעט חור באזור ההגדרה:

1) הפונקציה מוגדרת ורציפה על כל קו המספרים מלבד הנקודה, תְחוּם: .

, כלומר פונקציה זו אינה זוגית או אי זוגית.

ברור שהפונקציה אינה מחזורית.

הגרף של הפונקציה מייצג שני ענפים רציפים הממוקמים בחצי המישור השמאלי והימני - זו אולי המסקנה החשובה ביותר של נקודה 1.

2) אסימפטוטים, התנהגות של פונקציה באינסוף.

א) באמצעות מגבלות חד-צדדיות, אנו בוחנים את התנהגות הפונקציה ליד נקודה חשודה, שבה בבירור אמורה להיות אסימפטוטה אנכית:

אכן, הפונקציות נמשכות פער אינסופיבנקודה
והקו הישר (ציר) הוא אסימפטוטה אנכיתאומנות גרפית.

ב) בואו נבדוק אם קיימות אסימפטוטות אלכסוניות:

כן, זה ישר אסימפטוטה אלכסוניתגרפיקה, אם.

אין טעם לנתח את הגבולות, שכן כבר ברור שהפונקציה חובקת את האסימפטוטה האלכסונית שלה לא מוגבל מלמעלהו לא מוגבל מלמטה.

נקודת המחקר השנייה הניבה הרבה מידע חשוב על הפונקציה. בואו נעשה סקיצה גסה:

מסקנה מס' 1 נוגעת למרווחים של סימן קבוע. ב"מינוס אינסוף" גרף הפונקציה ממוקם בבירור מתחת לציר ה-x, וב"פלוס אינסוף" הוא נמצא מעל ציר זה. בנוסף, הגבולות החד-צדדיים אמרו לנו שגם משמאל וגם מימין לנקודה הפונקציה גדולה מאפס. שימו לב שבחצי המישור השמאלי על הגרף לחצות את ציר ה-x לפחות פעם אחת. ייתכן שלא יהיו אפסים של הפונקציה בחצי המישור הימני.

מסקנה מס' 2 היא שהפונקציה גדלה משמאל לנקודה (הולכת "מלמטה למעלה"). מימין לנקודה זו, הפונקציה יורדת (הולכת "מלמעלה למטה"). הענף הימני של הגרף חייב להיות לפחות מינימום אחד. בשמאל, קיצוניות לא מובטחת.

מסקנה מס' 3 מספקת מידע מהימן לגבי קעירות הגרף בקרבת הנקודה. אנחנו עדיין לא יכולים לומר דבר על קמורות/קיעור באינסוף, מכיוון שניתן ללחוץ קו לעבר האסימפטוטה שלו הן מלמעלה והן מלמטה. באופן כללי, ישנה דרך אנליטית להבין זאת כעת, אך צורת הגרף תתבהר בשלב מאוחר יותר.

למה כל כך הרבה מילים? לשלוט בנקודות המחקר הבאות ולהימנע מטעויות! חישובים נוספים לא צריכים לסתור את המסקנות שהושקו.

3) נקודות חיתוך של הגרף עם צירי הקואורדינטות, מרווחים של סימן קבוע של הפונקציה.

הגרף של הפונקציה אינו חוצה את הציר.

בשיטת המרווח אנו קובעים את הסימנים:

, אם ;
, אם .

התוצאות של נקודה זו עולות בקנה אחד עם מסקנה מס' 1. לאחר כל שלב, הסתכלו על הטיוטה, בדקו מנטלית את המחקר והשלימו את הגרף של הפונקציה.

בדוגמה הנבדקת, המונה מחולק מונח אחר מונח על ידי המכנה, מה שמועיל מאוד להבחנה:

למעשה, זה כבר נעשה בעת מציאת אסימפטוטות.

- נקודה קריטית.

בוא נגדיר את הסימנים:

גדל ב ויורד ב

בשלב שבו הפונקציה מגיעה למינימום: .

לא היו גם סתירות עם מסקנה מס' 2, וסביר להניח שאנחנו בדרך הנכונה.

המשמעות היא שהגרף של הפונקציה קעור על כל תחום ההגדרה.

נהדר - ואתה לא צריך לצייר שום דבר.

אין נקודות פיתול.

הקיעור עולה בקנה אחד עם מסקנה מס' 3, יתרה מכך, היא מציינת שבאינסוף (גם שם וגם שם) נמצא גרף הפונקציה גבוה יותרהאסימפטוטה האלכסונית שלו.

6) אנו נצמיד את המשימה עם נקודות נוספות. זה המקום שבו נצטרך לעבוד קשה, כי אנחנו יודעים רק שתי נקודות מהמחקר.

ותמונה שאנשים רבים כנראה דמיינו לפני זמן רב:

במהלך ביצוע המשימה, אתה צריך לוודא בזהירות כי אין סתירות בין שלבי המחקר, אבל לפעמים המצב דחוף או אפילו מבוי סתום נואשות. הניתוח "לא מסתכם" - זה הכל. במקרה זה, אני ממליץ על טכניקת חירום: אנחנו מוצאים כמה שיותר נקודות ששייכות לגרף (כמה שיש לנו סבלנות), וסמנו אותן במישור הקואורדינטות. ניתוח גרפי של הערכים שנמצאו יגיד לך ברוב המקרים היכן האמת ואיפה היא שקרית. בנוסף, ניתן לבנות את הגרף מראש באמצעות תוכנה כלשהי, למשל, באקסל (כמובן, זה דורש מיומנויות).

דוגמה 4

השתמש בשיטות חשבון דיפרנציאלי כדי ללמוד פונקציה ולבנות את הגרף שלה.

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. בו, השליטה העצמית מתעצמת על ידי השוויון של הפונקציה - הגרף סימטרי על הציר, ואם במחקר שלך משהו סותר עובדה זו, חפש שגיאה.

ניתן ללמוד פונקציה זוגית או אי-זוגית רק ב-, ולאחר מכן להשתמש בסימטריה של הגרף. פתרון זה הוא אופטימלי, אבל, לדעתי, הוא נראה מאוד יוצא דופן. באופן אישי, אני מסתכל על כל שורת המספרים, אבל אני עדיין מוצא נקודות נוספות רק בצד ימין:

דוגמה 5

ערכו מחקר מלא של הפונקציה ובנו את הגרף שלה.

פִּתָרוֹן: דברים נעשו קשים:

1) הפונקציה מוגדרת ורציפה על כל שורת המספרים: .

זה אומר שהפונקציה הזו מוזרה, הגרף שלה סימטרי לגבי המקור.

ברור שהפונקציה אינה מחזורית.

2) אסימפטוטים, התנהגות של פונקציה באינסוף.

מכיוון שהפונקציה רציפה ב- , אין אסימפטוטות אנכיות

עבור פונקציה המכילה מעריך, היא אופיינית נפרדמחקר של "פלוס" ו"מינוס של אינסוף", עם זאת, החיים שלנו מקלים על הסימטריה של הגרף - או שיש אסימפטוטה גם משמאל וגם מימין, או שאין כזו. לכן, שני הגבולות האינסופיים יכולים להיכתב תחת ערך בודד. במהלך הפתרון שאנו משתמשים בו שלטון L'Hopital:

הקו הישר (ציר) הוא האסימפטוטה האופקית של הגרף ב- .

שימו לב כיצד נמנעתי בערמומיות מהאלגוריתם המלא למציאת האסימפטוטה האלכסונית: הגבול הוא חוקי לחלוטין ומבהיר את התנהגות הפונקציה באינסוף, והאסימפטוטה האופקית התגלתה "כאילו באותו הזמן".

מההמשכיות והלאה ומקיומה של אסימפטוטה אופקית נובע שהפונקציה מוגבל למעלהו מוגבל למטה.

3) נקודות חיתוך של הגרף עם צירי הקואורדינטות, מרווחים של סימן קבוע.

כאן גם אנחנו מקצרים את הפתרון:
הגרף עובר דרך המקור.

אין נקודות חיתוך אחרות עם צירי הקואורדינטות. יתר על כן, מרווחי הקביעות של הסימן ברורים, ואין צורך לצייר את הציר: , כלומר סימן הפונקציה תלוי רק ב- "x":
, אם ;
, אם .

4) עלייה, ירידה, קיצוניות של הפונקציה.


- נקודות קריטיות.

הנקודות סימטריות בערך אפס, כמו שצריך.

הבה נקבע את הסימנים של הנגזרת:


הפונקציה גדלה במרווח ופוחתת במרווחים

בנקודה שבה הפונקציה מגיעה למקסימום שלה: .

בשל הנכס (המוזרות של הפונקציה) אין צורך לחשב את המינימום:

מכיוון שהפונקציה יורדת לאורך המרווח, אז ברור שהגרף ממוקם ב"מינוס אינסוף" תַחַתהאסימפטוטה שלו. במהלך המרווח גם הפונקציה יורדת, אבל כאן ההפך הוא הנכון - לאחר מעבר בנקודת המקסימום, הקו מתקרב לציר מלמעלה.

מהאמור לעיל עולה גם שגרף הפונקציה קמור ב"מינוס אינסוף" וקעור ב"פלוס אינסוף".

לאחר נקודת מחקר זו, טווח ערכי הפונקציות צויר:

אם יש לך אי הבנה של נקודות כלשהן, אני שוב קורא לך לצייר צירי קואורדינטות במחברת שלך, ובעזרת עיפרון בידיים שלך, לנתח מחדש כל מסקנה של המשימה.

5) קמורות, קיעור, קיפולים של הגרף.

- נקודות קריטיות.

הסימטריה של הנקודות נשמרת, וסביר להניח שאנחנו לא טועים.

בוא נגדיר את הסימנים:


הגרף של הפונקציה קמור על וקעור על .

אושרה הקמור/הקיעור במרווחים הקיצוניים.

בכל הנקודות הקריטיות יש קימטים בגרף. בוא נמצא את האורדינאטות של נקודות הפיתול, ונפחית שוב את מספר החישובים באמצעות האי-זוגיות של הפונקציה: