חלוקת מספרים עם חזקות ובסיסים שונים. כלל להכפלת חזקה עם בסיסים שונים

06.09.2021

נוסחאות לתוארמשמש בתהליך של צמצום ופישוט ביטויים מורכבים, בפתרון משוואות ואי-שוויון.

מספר גהוא נהחזקה של מספר אמתי:

פעולות עם תארים.

1. על ידי הכפלת מעלות עם אותו בסיס, האינדיקטורים שלהם מתווספים:

א מ·a n = a m + n .

2. כאשר מחלקים מעלות עם אותו בסיס, המעריכים שלהן מוחסרים:

3. מידת המכפלה של 2 גורמים או יותר שווה למכפלת המעלות של גורמים אלה:

(abc...) n = a n · b n · c n …

4. דרגת השבר שווה ליחס בין דרגות הדיבידנד והמחלק:

(a/b) n = a n /b n .

5. העלאת חזקה לחזקה, המעריכים מוכפלים:

(a m) n = a m n .

כל נוסחה למעלה נכונה לכיוונים משמאל לימין ולהיפך.

לדוגמה. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

פעולות עם שורשים.

1. שורש המכפלה של מספר גורמים שווה למכפלת השורשים של גורמים אלה:

2. שורש יחס שווה ליחס הדיבידנד ומחלק השורשים:

3. כשמעלים שורש לחזקה, מספיק להעלות את המספר הרדיקלי לעוצמה זו:

4. אם מגדילים את מידת השורש פנימה נפעם אחת ובו זמנית לבנות לתוך נהחזקה היא מספר רדיקלי, אז הערך של השורש לא ישתנה:

5. אם מורידים את מידת השורש פנימה נלחלץ את השורש בו זמנית נהחזקה של מספר רדיקלי, אז הערך של השורש לא ישתנה:

תואר עם מעריך שלילי.החזקה של מספר מסוים עם מעריך לא חיובי (מספר שלם) מוגדרת כאחד מחולק בחזקת אותו מספר עם מעריך שווה לערך המוחלט של המעריך הלא חיובי:

נוּסחָה א מ:a n =a m - nיכול לשמש לא רק עבור M> נ, אבל גם עם M< נ.

לדוגמה. א4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

לנוסחה א מ:a n =a m - nהפך להיות הוגן מתי m=n, נדרשת נוכחות של תואר אפס.

תואר עם מדד אפס.החזקה של כל מספר שאינו שווה לאפס עם מעריך אפס שווה לאחד.

לדוגמה. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

תואר עם מעריך שבר.להעלות מספר אמיתי אלתואר m/n, אתה צריך לחלץ את השורש נהתואר של M-חזק של מספר זה א.

במאמר הקודם הסברנו מהם מונומיאלים. בחומר זה נבחן כיצד לפתור דוגמאות ובעיות שבהן נעשה שימוש. כאן נשקול פעולות כגון חיסור, חיבור, כפל, חלוקת מונומיאלים והעלאתם לחזקה עם מעריך טבעי. נראה כיצד מוגדרות פעולות כאלה, נתאר את הכללים הבסיסיים לביצוען ומה צריכה להיות התוצאה. כל המושגים התיאורטיים, כרגיל, יומחשו בדוגמאות של בעיות עם תיאורי פתרונות.

הכי נוח לעבוד עם הסימון הסטנדרטי של מונומיאלים, לכן אנו מציגים את כל הביטויים שישמשו במאמר בצורה סטנדרטית. אם במקור צוינו אחרת, מומלץ קודם כל להביאם לצורה מקובלת.

כללים לחיבור והפחתה של מונומיות

הפעולות הפשוטות ביותר שניתן לבצע עם מונומיאלים הן חיסור וחיבור. באופן כללי, התוצאה של פעולות אלו תהיה פולינום (מונומיאל אפשרי במקרים מיוחדים מסוימים).

כאשר אנו מוסיפים או מחסירים מונומילים, נכתוב תחילה את הסכום וההפרש המתאימים בצורה המקובלת, ולאחר מכן נפשט את הביטוי המתקבל. אם יש מונחים דומים, יש לצטט אותם, ולפתוח את הסוגריים. בואו נסביר עם דוגמה.

דוגמה 1

מַצָב:בצע את הוספת המונומיאלים − 3 x ו-2, 72 x 3 y 5 z.

פִּתָרוֹן

נרשום את סכום הביטויים המקוריים. בוא נוסיף סוגריים ונשים ביניהם סימן פלוס. נקבל את הדברים הבאים:

(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z)

כאשר נעשה את הרחבת הסוגריים, נקבל - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z. זהו פולינום, כתוב בצורה סטנדרטית, אשר יהיה תוצאה של הוספת המונוומים הללו.

תשובה:(− 3 x) + (2.72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2.72 x 3 y 5 z.

אם יש לנו שלושה, ארבעה או יותר מונחים, אנו מבצעים את הפעולה הזו בדיוק באותו אופן.

דוגמה 2

מַצָב:בצע את הפעולות המצוינות עם פולינומים בסדר הנכון

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

פִּתָרוֹן

נתחיל בפתיחת הסוגריים.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

אנו רואים שניתן לפשט את הביטוי המתקבל על ידי הוספת מונחים דומים:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

יש לנו פולינום, שיהיה תוצאה של פעולה זו.

תשובה: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

באופן עקרוני, נוכל להוסיף ולהחסיר שני מונומיאלים, עם כמה הגבלות, כך שנסיים עם מונומיאל. כדי לעשות זאת, אתה צריך לעמוד בתנאים מסוימים לגבי תוספות ומונומיאלים מופחתים. אנו נספר לך כיצד זה נעשה במאמר נפרד.

כללים להכפלת מונומיות

פעולת הכפל אינה מטילה כל הגבלה על הגורמים. המונומיאלים המוכפלים אינם חייבים לעמוד בתנאים נוספים על מנת שהתוצאה תהיה מונומית.

כדי לבצע כפל של מונומיאלים, עליך לבצע את השלבים הבאים:

רשום את היצירה בצורה נכונה.
הרחב את הסוגריים בביטוי המתקבל.
אם אפשר, קבץ גורמים עם אותם משתנים וגורמים מספריים בנפרד.
בצע את הפעולות הדרושות עם מספרים והחל את המאפיין של כפל חזקות עם אותם בסיסים על הגורמים הנותרים.

בואו נראה איך זה נעשה בפועל.

דוגמה 3

מַצָב:הכפל את המונומיאלים 2 x 4 y z ו - 7 16 t 2 x 2 z 11.

פִּתָרוֹן

נתחיל בחיבור היצירה.

אנו פותחים את הסוגריים בו ומקבלים את הדברים הבאים:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

כל שעלינו לעשות הוא להכפיל את המספרים בסוגריים הראשונים ולהחיל את המאפיין של חזקות עבור השני. כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הדברים הבאים:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

תשובה: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

אם המצב שלנו מכיל שלושה פולינומים או יותר, נכפיל אותם באמצעות אותו אלגוריתם בדיוק. נשקול את הנושא של הכפלת מונומיאלים ביתר פירוט בחומר נפרד.

כללים להעלאת מונומיאל לכוח

אנו יודעים שכוח בעל מעריך טבעי הוא תוצר של מספר מסוים של גורמים זהים. מספרם מצוין על ידי המספר במחוון. לפי הגדרה זו, העלאת מונומיאל לחזקה שווה ערך להכפלת המספר הנקוב של מונומיאלים זהים. בוא נראה איך זה נעשה.

דוגמה 4

מַצָב:להעלות את המונומיאל − 2 · a · b 4 לחזקת 3 .

פִּתָרוֹן

אנו יכולים להחליף את האקספונציה בכפל של 3 מונומיאלים − 2 · a · b 4 . בואו נרשום את זה ונקבל את התשובה הרצויה:

(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) = = ((− 2) · (− 2) · (− 2)) · (a · a · a) · (b 4 · b 4 · b 4) = − 8 · a 3 · b 12

תשובה:(− 2 · a · b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

אבל מה אם לתואר יש אינדיקטור גדול? זה לא נוח לרשום מספר רב של גורמים. לאחר מכן, כדי לפתור בעיה כזו, עלינו ליישם את המאפיינים של תואר, כלומר את המאפיין של תואר מוצר ואת המאפיין של תואר בתואר.

בואו נפתור את הבעיה שהצגנו לעיל באמצעות השיטה המצוינת.

דוגמה 5

מַצָב:להעלות − 2 · a · b 4 לחזקה שלישית.

פִּתָרוֹן

הכרת המאפיין של כוח לדרגה, נוכל להמשיך לביטוי בצורה הבאה:

(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2) 3 · a 3 · (b 4) 3 .

לאחר מכן, נעלה לחזקה - 2 ונחיל את תכונת הסמכויות על סמכויות:

(− 2) 3 · (א) 3 · (ב 4) 3 = − 8 · a 3 · b 4 · 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

תשובה:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

הקדשנו גם מאמר נפרד להעלאת מונומיאל לכוח.

כללים לחלוקת מונומילים

הפעולה האחרונה עם מונומיאלים שנבחן בחומר זה היא חלוקת מונומיאל במונומיאל. כתוצאה מכך, עלינו לקבל שבר רציונלי (אלגברי) (במקרים מסוימים ניתן לקבל מונומיאל). הבה נבהיר מיד שחלוקה באפס מונומית אינה מוגדרת, שכן חלוקה ב-0 אינה מוגדרת.

כדי לבצע חלוקה, עלינו לרשום את המונומיאלים המצוינים בצורה של שבר ולהקטין אותו, במידת האפשר.

דוגמה 6

מַצָב:חלקו את המונומיאל − 9 · x 4 · y 3 · z 7 ב- − 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 .

פִּתָרוֹן

נתחיל בכתיבת מונומיות בצורת שבר.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

ניתן להפחית חלק זה. לאחר ביצוע פעולה זו נקבל:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

תשובה:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

התנאים שבהם, כתוצאה מחלוקת מונומיות, אנו מקבלים מונומיאל, ניתנים במאמר נפרד.

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

בשיעור הסרטון האחרון למדנו שדרגת בסיס מסוים היא ביטוי המייצג את מכפלת הבסיס בפני עצמו, בכמות השווה למעריך. הבה נלמד כעת כמה מהתכונות והפעולות החשובות ביותר של כוחות.

לדוגמה, בואו נכפיל שתי חזקות שונות עם אותו בסיס:

בואו נציג את העבודה הזו בשלמותה:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

לאחר חישוב הערך של ביטוי זה, נקבל את המספר 32. מצד שני, כפי שניתן לראות מאותה דוגמה, ניתן לייצג את 32 כמכפלה של אותו בסיס (שניים), נלקח 5 פעמים. ואכן, אם סופרים את זה, אז:

לפיכך, אנו יכולים להסיק בביטחון כי:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

כלל זה עובד בהצלחה עבור כל אינדיקטור ומכל סיבה. תכונה זו של כפל עוצמה נובעת מהכלל שמשמעות הביטויים נשמרת במהלך טרנספורמציות במכפלה. עבור כל בסיס a, המכפלה של שני ביטויים (a)x ו-(a)y שווה ל-a(x + y). במילים אחרות, כאשר נוצרים ביטויים כלשהם עם אותו בסיס, למונומיאל המתקבל יש דרגה כוללת שנוצרת על ידי הוספת המעלות של הביטוי הראשון והשני.

הכלל המוצג עובד מצוין גם כאשר מכפילים מספר ביטויים. התנאי העיקרי הוא שלכולם יהיו אותם בסיסים. לדוגמה:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

אי אפשר להוסיף תארים, ואכן לבצע פעולות משותפות מבוססות כוח עם שני אלמנטים של ביטוי אם הבסיסים שלהם שונים.
כפי שמראה הסרטון שלנו, בשל הדמיון בין תהליכי הכפל והחילוק, הכללים להוספת כוחות במכפלה מועברים בצורה מושלמת להליך החלוקה. שקול את הדוגמה הזו:

בואו נהפוך את הביטוי מונח אחר מונח לצורתו המלאה ונפחית את אותם מרכיבים בדיווידנד ובמחלק:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

התוצאה הסופית של הדוגמה הזו לא כל כך מעניינת, כי כבר בתהליך הפתרון ברור שערך הביטוי שווה לריבוע של שניים. והוא שני שמתקבל בהפחתת מידת הביטוי השני מדרגת הראשון.

כדי לקבוע את מידת המנה, יש צורך להפחית את מידת המחלק ממידת הדיבידנד. הכלל פועל עם אותו בסיס לכל ערכיו ולכל כוחות הטבע. בצורה של הפשטה יש לנו:

(א) x / (א) y = (א) x - y

מהכלל של חלוקת בסיסים זהים עם מעלות, באה ההגדרה לדרגת האפס. ברור שהביטוי הבא נראה כך:

(א) x / (a) x = (a) (x - x) = (א) 0

מצד שני, אם נעשה את החלוקה בצורה ויזואלית יותר, נקבל:

(א) 2 / (א) 2 = (א) (א) / (א) (א) = 1

כאשר מצמצמים את כל האלמנטים הגלויים של שבר, מתקבל תמיד הביטוי 1/1, כלומר אחד. לכן, מקובל בדרך כלל שכל בסיס המועלה בחזקת אפס שווה לאחד:

ללא קשר לערך של א.

עם זאת, זה יהיה אבסורד אם 0 (שעדיין נותן 0 לכל כפל) שווה איכשהו לאחד, אז ביטוי של הצורה (0) 0 (אפס בחזקת אפס) פשוט לא הגיוני, ולנוסחה ( א) 0 = 1 הוסף תנאי: "אם a אינו שווה ל-0."

בואו נפתור את התרגיל. בוא נמצא את הערך של הביטוי:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

מכיוון שהבסיס זהה בכל מקום ושווה ל-34, לערך הסופי יהיה אותו בסיס עם תואר (על פי הכללים לעיל):

במילים אחרות:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

תשובה: הביטוי שווה לאחד.

תוכן השיעור

מהו תואר?

תוֹאַרנקרא מכפלה של מספר גורמים זהים. לדוגמה:

2 × 2 × 2

הערך של ביטוי זה הוא 8

2 × 2 × 2 = 8

ניתן לקצר את הצד השמאלי של השוויון הזה - תחילה רשמו את הגורם החוזר וציינו מעליו כמה פעמים הוא חוזר על עצמו. המכפיל החוזר במקרה זה הוא 2. הוא חוזר על עצמו שלוש פעמים. לכן, אנו כותבים שלוש מעל השניים:

2 3 = 8

ביטוי זה קורא כך: " שתיים עד חזקה שווה שמונה" או " החזקה השלישית של 2 היא 8."

הצורה הקצרה של סימון להכפלת גורמים זהים משמשת לעתים קרובות יותר. לכן עלינו לזכור שאם נכתב מספר נוסף מעל מספר, הרי שמדובר בכפל של מספר גורמים זהים.

לדוגמה, אם ניתן הביטוי 5 3, אז יש לזכור שביטוי זה שווה ערך לכתיבת 5 × 5 × 5.

המספר שחוזר נקרא בסיס תואר. בביטוי 5 3 בסיס החזקה הוא המספר 5.

והמספר שכתוב מעל המספר 5 נקרא מַעֲרִיך. בביטוי 5 3, המעריך הוא המספר 3. המעריך מראה כמה פעמים חוזר הבסיס של המעריך. במקרה שלנו, בסיס 5 חוזר על עצמו שלוש פעמים

הפעולה של הכפלת גורמים זהים נקראת על ידי אקספוננציה.

לדוגמה, אם אתה צריך למצוא את המכפלה של ארבעה גורמים זהים, שכל אחד מהם שווה ל-2, אז הם אומרים שהמספר הוא 2 מועלה לחזקה רביעית:

אנו רואים שהמספר 2 בחזקת הרביעית הוא המספר 16.

שימו לב שבשיעור זה אנו מסתכלים מעלות עם אקספוננט טבעי. זהו סוג של תואר שהמעריך שלו הוא מספר טבעי. נזכיר שמספרים טבעיים הם מספרים שלמים שגדולים מאפס. לדוגמה, 1, 2, 3 וכן הלאה.

באופן כללי, ההגדרה של תואר עם מעריך טבעי נראית כך:

תואר ב אעם מחוון טבעי נהוא ביטוי של הצורה א n, ששווה למוצר נגורמים, שכל אחד מהם שווה א

דוגמאות:

אתה צריך להיות זהיר כאשר מעלים מספר לחזקה. לעתים קרובות, באמצעות חוסר תשומת לב, אדם מכפיל את בסיס המעריך במעריך.

לדוגמה, המספר 5 בחזקת השנייה הוא מכפלה של שני גורמים, שכל אחד מהם שווה ל-5. מכפלה זו שווה ל-25

כעת דמיינו שהכפלנו בטעות את בסיס 5 במעריך 2

הייתה שגיאה מכיוון שהמספר 5 בחזקת השנייה אינו שווה ל-10.

בנוסף, יש להזכיר שהחזקה של מספר עם מעריך 1 היא המספר עצמו:

לדוגמה, המספר 5 בחזקת הראשונה הוא המספר 5 עצמו

בהתאם לכך, אם למספר אין אינדיקטור, אז עלינו להניח שהאינדיקטור שווה לאחד.

לדוגמה, המספרים 1, 2, 3 ניתנים ללא מעריך, כך שהמעריכים שלהם יהיו שווים לאחד. כל אחד מהמספרים האלה יכול להיכתב עם מעריך 1

ואם אתה מעלה 0 לעוצמה כלשהי, אתה מקבל 0. אכן, לא משנה כמה פעמים אתה מכפיל משהו בעצמו, אתה לא מקבל כלום. דוגמאות:

והביטוי 0 0 לא הגיוני. אבל בענפים מסוימים של המתמטיקה, בפרט ניתוח ותורת הקבוצות, הביטוי 0 0 עשוי להיות הגיוני.

לתרגול, בואו נפתור כמה דוגמאות להעלאת מספרים לחזקות.

דוגמה 1.הרם את הספרה 3 לחזקה השנייה.

המספר 3 בחזקת השנייה הוא מכפלה של שני גורמים, שכל אחד מהם שווה ל-3

3 2 = 3 × 3 = 9

דוגמה 2.הרם את המספר 2 לחזקה רביעית.

המספר 2 בחזקת רביעית הוא מכפלה של ארבעה גורמים, שכל אחד מהם שווה ל-2

2 4 =2 × 2 × 2 × 2 = 16

דוגמה 3.הרם את המספר 2 לחזקה שלישית.

המספר 2 בחזקת שלישית הוא מכפלה של שלושה גורמים, שכל אחד מהם שווה ל-2

2 3 = 2 × 2 × 2 = 8

העלאת המספר 10 לחזק

כדי להעלות את המספר 10 לחזקה, מספיק להוסיף אחרי אחד מספר אפסים השווה למעריך.

לדוגמה, בואו נעלה את המספר 10 לחזקה שנייה. ראשית, אנו רושמים את המספר 10 עצמו ומציינים את המספר 2 כאינדיקטור

10 2

כעת שמים סימן שווה, נכתוב אחד ואחרי זה נכתוב שני אפסים, מכיוון שמספר האפסים חייב להיות שווה למעריך

10 2 = 100

המשמעות היא שהמספר 10 בחזקת השנייה הוא המספר 100. זאת בשל העובדה שהמספר 10 בחזקת השנייה הוא מכפלה של שני גורמים, שכל אחד מהם שווה ל-10

10 2 = 10 × 10 = 100

דוגמה 2. בואו נעלה את המספר 10 לחזקה שלישית.

במקרה זה, יהיו שלושה אפסים אחרי האחד:

10 3 = 1000

דוגמה 3. בואו נעלה את המספר 10 לחזקה רביעית.

במקרה זה, יהיו ארבעה אפסים אחרי האחד:

10 4 = 10000

דוגמה 4. בואו נעלה את המספר 10 לחזקה הראשונה.

במקרה זה, יהיה אפס אחד אחרי זה:

10 1 = 10

ייצוג של מספרים 10, 100, 1000 כחזקות עם בסיס 10

כדי לייצג את המספרים 10, 100, 1000 ו-10000 כחזקה עם בסיס 10, עליך לרשום את הבסיס 10, וכמעריך לציין מספר השווה למספר האפסים של המספר המקורי.

בואו נדמיין את המספר 10 כחזקה עם בסיס של 10. אנו רואים שיש לו אפס אחד. המשמעות היא שהמספר 10 כחזקה עם בסיס של 10 יוצג כ-10 1

10 = 10 1

דוגמה 2. בואו נדמיין את המספר 100 כחזקה עם בסיס של 10. אנו רואים שהמספר 100 מכיל שני אפסים. המשמעות היא שהמספר 100 כחזקה עם בסיס של 10 יוצג כ-10 2

100 = 10 2

דוגמה 3. בואו נציג את המספר 1,000 כחזקה עם בסיס של 10.

1 000 = 10 3

דוגמה 4. בואו נציג את המספר 10,000 כחזקה עם בסיס של 10.

10 000 = 10 4

העלאת מספר שלילי לחזקה

כאשר מעלים מספר שלילי לחזקה, הוא חייב להיות מוקף בסוגריים.

לדוגמה, בואו נעלה את המספר השלילי −2 לחזקה שנייה. המספר −2 בחזקת השנייה הוא מכפלה של שני גורמים, שכל אחד מהם שווה ל-(−2)

(-2) 2 = (-2) × (-2) = 4

אם לא היינו סוגרים את המספר −2 בסוגריים, היה יוצא שאנו מחשבים את הביטוי −2 2, אשר לא שווה 4 . הביטוי −2² יהיה שווה ל-4. כדי להבין מדוע, בואו ניגע בכמה נקודות.

כאשר אנו שמים מינוס מול מספר חיובי, אנו מבצעים בכך פעולה של לקיחת הערך ההפוך.

נניח שקיבלת את המספר 2, ואתה צריך למצוא את המספר הנגדי שלו. אנו יודעים שההיפך מ-2 הוא −2. במילים אחרות, כדי למצוא את המספר ההפוך ל-2, פשוט שים מינוס לפני המספר הזה. הכנסת מינוס לפני מספר כבר נחשבת לפעולה מלאה במתמטיקה. פעולה זו, כאמור לעיל, נקראת פעולת לקיחת הערך ההפוך.

במקרה של הביטוי −2 2 מתרחשות שתי פעולות: פעולת לקיחת הערך ההפוך והעלאתו לחזקה. להעלות לכוח יש עדיפות גבוהה יותר מלקיחת הערך ההפוך.

לכן, הביטוי −2 2 מחושב בשני שלבים. ראשית, פעולת האקספונציה מבוצעת. במקרה זה, המספר החיובי 2 הועלה לחזקה השנייה

ואז נלקח הערך ההפוך. ערך הפוך זה נמצא עבור הערך 4. והערך ההפוך עבור 4 הוא −4

−2 2 = −4

לסוגריים יש את עדיפות הביצוע הגבוהה ביותר. לכן, במקרה של חישוב הביטוי (−2) 2, תחילה לוקחים את הערך ההפוך, ולאחר מכן מעלים את המספר השלילי −2 לחזקה השנייה. התוצאה היא תשובה חיובית של 4, שכן המכפלה של מספרים שליליים היא מספר חיובי.

דוגמה 2. העלו את המספר −2 לחזקה שלישית.

המספר −2 בחזקת שלישית הוא מכפלה של שלושה גורמים, שכל אחד מהם שווה ל-(−2)

(-2) 3 = (-2) × (-2) × (-2) = −8

דוגמה 3. העלו את המספר −2 לחזקה רביעית.

המספר −2 בחזקת רביעית הוא מכפלה של ארבעה גורמים, שכל אחד מהם שווה ל-(−2)

(-2) 4 = (-2) × (-2) × (-2) × (-2) = 16

קל לראות שכאשר מעלים מספר שלילי לחזקה, ניתן לקבל תשובה חיובית או שלילית. סימן התשובה תלוי במדד התואר המקורי.

אם המעריך זוגי, אז התשובה תהיה חיובית. אם המעריך אי זוגי, התשובה תהיה שלילית. הבה נראה זאת באמצעות הדוגמה של המספר −3

במקרה הראשון והשלישי המדד היה מוזרמספר, אז התשובה הפכה שלילי.

במקרה השני והרביעי המדד היה אֲפִילוּמספר, אז התשובה הפכה חִיוּבִי.

דוגמה 7.הרם -5 לחזקה שלישית.

המספר −5 בחזקת שלישית הוא מכפלה של שלושה גורמים, שכל אחד מהם שווה ל-5. מעריך 3 הוא מספר אי-זוגי, אז אפשר לומר מראש שהתשובה תהיה שלילית:

(-5) 3 = (-5) × (-5) × (-5) = -125

דוגמה 8.הרם −4 לחזקה רביעית.

המספר −4 בחזקת רביעית הוא מכפלה של ארבעה גורמים, שכל אחד מהם שווה ל-4. יתרה מכך, מעריך 4 זוגי, כך שניתן לומר מראש שהתשובה תהיה חיובית:

(-4) 4 = (-4) × (-4) × (-4) × (-4) = 256

מציאת ערכי ביטוי

בעת מציאת ערכי ביטויים שאינם מכילים סוגריים, תחילה תתבצע אקספונציה, לאחר מכן כפל וחילוק לפי סדר הופעתם, ולאחר מכן חיבור וחיסור לפי סדר הופעתם.

דוגמה 1. מצא את הערך של הביטוי 2 + 5 2

ראשית, מבצעים אקספוננציציה. במקרה זה, המספר 5 מועלה לחזקה השנייה - נקבל 25. ואז תוצאה זו מתווספת למספר 2

2 + 5 2 = 2 + 25 = 27

דוגמה 10. מצא את הערך של הביטוי −6 2 × (−12)

ראשית, מבצעים אקספוננציציה. שימו לב שהמספר −6 אינו בסוגריים, לכן המספר 6 יועלה לחזקה השנייה, ואז יוצב מינוס לפני התוצאה:

−6 2 × (−12) = −36 × (−12)

אנו משלימים את הדוגמה על ידי הכפלת −36 ב-(−12)

−6 2 × (−12) = −36 × (−12) = 432

דוגמה 11. מצא את הערך של הביטוי −3 × 2 2

ראשית, מבצעים אקספוננציציה. ואז התוצאה המתקבלת מוכפלת במספר −3

−3 × 2 2 = −3 × 4 = −12

אם הביטוי מכיל סוגריים, תחילה עליך לבצע את הפעולות בסוגריים אלה, לאחר מכן אקספונציה, לאחר מכן כפל וחילוק, ולאחר מכן חיבור וחיסור.

דוגמה 12. מצא את הערך של הביטוי (3 2 + 1 × 3) − 15 + 5

ראשית אנו מבצעים את הפעולות בסוגריים. בתוך הסוגריים, אנו מיישמים את הכללים שנלמדו קודם לכן, כלומר, ראשית נעלה את המספר 3 לחזקה השנייה, לאחר מכן נכפיל 1 × 3, ואז נוסיף את התוצאות של העלאת המספר 3 בחזקת השנייה והכפלה של 1 × 3 . לאחר מכן, חיסור וחיבור מתבצעים לפי סדר הופעתם. בואו נסדר את הסדר הבא של ביצוע הפעולה על הביטוי המקורי:

(3 2 + 1 × 3) - 15 + 5 = 12 - 15 + 5 = 2

דוגמה 13. מצא את הערך של הביטוי 2 × 5 3 + 5 × 2 3

ראשית, נעלה את המספרים לחזקות, ואז נכפיל ונוסיף את התוצאות:

2 × 5 3 + 5 × 2 3 = 2 × 125 + 5 × 8 = 250 + 40 = 290

תמורות כוח זהות

ניתן לבצע טרנספורמציות זהות שונות על סמכויות, ובכך לפשט אותן.

נניח שהיינו צריכים לחשב את הביטוי (2 3) 2. בדוגמה זו, שניים לחזקה שלישית מועלים לחזקה שנייה. במילים אחרות, תואר מועלה לתואר אחר.

(2 3) 2 הוא מכפלה של שתי חזקות, שכל אחת מהן שווה ל-2 3

יתרה מכך, כל אחת מהכוחות הללו היא מכפלה של שלושה גורמים, שכל אחד מהם שווה ל-2

קיבלנו את המכפלה 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, ששווה ל-64. זה אומר ערך הביטוי (2 3) 2 או שווה ל-64

ניתן לפשט מאוד את הדוגמה הזו. לשם כך, ניתן להכפיל את המעריכים של הביטוי (2 3) 2 ולכתוב על הבסיס 2

קיבלנו 2 6. שתיים עד חזקה היא מכפלה של שישה גורמים, שכל אחד מהם שווה ל-2. מכפלה זו שווה ל-64

תכונה זו פועלת מכיוון ש-2 3 הוא מכפלה של 2 × 2 × 2, אשר בתורו חוזר על עצמו פעמיים. ואז מתברר שבסיס 2 חוזר על עצמו שש פעמים. מכאן נוכל לכתוב ש2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 זה 2 6

באופן כללי, מכל סיבה שהיא אעם אינדיקטורים Mו נ, מתקיים השוויון הבא:

(א n)m = a n × m

טרנספורמציה זהה זו נקראת להעלות כוח לכוח. אפשר לקרוא אותו כך: "כאשר מעלים כוח לחזקה, הבסיס נותר ללא שינוי, והמעריכים מוכפלים" .

לאחר הכפלת האינדיקטורים, מקבלים תואר נוסף, שניתן למצוא את ערכו.

דוגמה 2. מצא את הערך של הביטוי (3 2) 2

בדוגמה זו, הבסיס הוא 3, והמספרים 2 ו-2 הם מעריכים. בואו נשתמש בכלל של העלאת כוח לכוח. נשאיר את הבסיס ללא שינוי, ונכפיל את האינדיקטורים:

קיבלנו 3 4. והמספר 3 בחזקת רביעית הוא 81

בואו ניקח בחשבון את התמורות הנותרות.

הכפלת כוחות

כדי להכפיל חזקות, עליך לחשב כל חזק בנפרד ולהכפיל את התוצאות.

לדוגמה, בוא נכפיל את 2 2 ב-3 3.

2 2 הוא המספר 4, ו-3 3 הוא המספר 27. תכפילו את המספרים 4 ו-27, נקבל 108

2 2 × 3 3 = 4 × 27 = 108

בדוגמה זו, בסיסי התארים היו שונים. אם הבסיסים זהים, אז אתה יכול לרשום בסיס אחד, ולרשום את סכום האינדיקטורים של המעלות המקוריות כמחוון.

לדוגמה, הכפל 2 2 ב- 2 3

בדוגמה זו, הבסיסים לתארים זהים. במקרה זה, ניתן לרשום בסיס אחד 2 ולרשום את סכום מעריכי החזקות 2 2 ו-2 3 כמעריך. במילים אחרות, השאר את הבסיס ללא שינוי, וחבר את האינדיקטורים של התארים המקוריים. זה ייראה כך:

קיבלנו 2 5. המספר 2 בחזקת חמישית הוא 32

מאפיין זה פועל מכיוון ש-2 2 הוא המכפלה של 2 × 2, ו-2 3 הוא המכפלה של 2 × 2 × 2. אז נקבל מכפלה של חמישה גורמים זהים, שכל אחד מהם שווה ל-2. מוצר זה יכול להיות מיוצג כ-2 5

באופן כללי, לכל אחד אואינדיקטורים Mו נמתקיים השוויון הבא:

טרנספורמציה זהה זו נקראת תכונה בסיסית של תואר. אפשר לקרוא את זה כך: " פכשמכפילים חזקות עם אותם בסיסים, הבסיס נשאר ללא שינוי, ומוסיפים את המעריכים." .

שימו לב שניתן ליישם את השינוי הזה בכל מספר דרגות. העיקר שהבסיס זהה.

לדוגמה, בוא נמצא את הערך של הביטוי 2 1 × 2 2 × 2 3. בסיס 2

בבעיות מסוימות, זה עשוי להספיק לבצע את הטרנספורמציה המתאימה מבלי לחשב את התואר הסופי. זה כמובן מאוד נוח, שכן חישוב כוחות גדולים אינו כל כך קל.

דוגמה 1. הבע כחזקה את הביטוי 5 8 × 25

בבעיה זו, אתה צריך לוודא שבמקום הביטוי 5 8 × 25, אתה מקבל חזק אחד.

המספר 25 יכול להיות מיוצג כ-5 2. ואז נקבל את הביטוי הבא:

בביטוי זה, ניתן ליישם את התכונה הבסיסית של התואר - השאר את הבסיס 5 ללא שינוי, והוסף את המעריכים 8 ו-2:

נרשום בקצרה את הפתרון:

דוגמה 2. הבע כחזקה את הביטוי 2 9 × 32

המספר 32 יכול להיות מיוצג כ-2 5. אז נקבל את הביטוי 2 9 × 2 5. לאחר מכן, תוכל להחיל את תכונת הבסיס של התואר - השאר את בסיס 2 ללא שינוי, והוסף מעריכים 9 ו-5. התוצאה תהיה הפתרון הבא:

דוגמה 3. חשב את המכפלה של 3 × 3 תוך שימוש בתכונה הבסיסית של חזקות.

כולם יודעים היטב ששלוש כפול שלוש שווה תשע, אבל הבעיה מצריכה שימוש בתכונה הבסיסית של מעלות בפתרון. איך לעשות את זה?

אנו נזכיר שאם ניתן מספר ללא מחוון, אז האינדיקטור חייב להיחשב שווה לאחד. לכן, גורמים 3 ו-3 יכולים להיכתב כ-3 1 ו-3 1

3 1 × 3 1

כעת נשתמש בתכונה הבסיסית של תואר. אנו משאירים את בסיס 3 ללא שינוי, ומוסיפים את האינדיקטורים 1 ו-1:

3 1 × 3 1 = 3 2 = 9

דוגמה 4. חשב את המכפלה 2 × 2 × 3 2 × 3 3 באמצעות המאפיין הבסיסי של חזקות.

אנו מחליפים את המוצר 2 × 2 ב-2 1 × 2 1, לאחר מכן ב-2 1 + 1, ולאחר מכן ב-2 2. החלף את המוצר 3 2 × 3 3 ב-3 2 + 3 ולאחר מכן ב-3 5

דוגמה 5. בצע כפל x × x

אלו שני גורמי אותיות זהים עם מעריכי 1. למען הבהירות, נרשום את המעריכים הללו. הבא הוא הבסיס איקסנשאיר את זה ללא שינוי ונחבר את האינדיקטורים:

בזמן שאתה נמצא בלוח, אסור לרשום את כפל החזקות עם אותם בסיסים בפירוט רב כפי שנעשה כאן. חישובים כאלה חייבים להיעשות בראש שלך. הערה מפורטת ככל הנראה תרגיז את המורה והוא יוריד את הציון על כך. כאן ניתנת הקלטה מפורטת כדי שהחומר יהיה קל להבנה ככל האפשר.

מומלץ לכתוב את הפתרון לדוגמא זו באופן הבא:

דוגמה 6. בצע כפל איקס 2 × x

המעריך של הגורם השני שווה לאחד. למען הבהירות, בואו נכתוב את זה. לאחר מכן, נשאיר את הבסיס ללא שינוי ונחבר את האינדיקטורים:

דוגמה 7. בצע כפל y 3 y 2 y

המעריך של הגורם השלישי שווה לאחד. למען הבהירות, בואו נכתוב את זה. לאחר מכן, נשאיר את הבסיס ללא שינוי ונחבר את האינדיקטורים:

דוגמה 8. בצע כפל aa 3 a 2 a 5

המעריך של הגורם הראשון שווה לאחד. למען הבהירות, בואו נכתוב את זה. לאחר מכן, נשאיר את הבסיס ללא שינוי ונחבר את האינדיקטורים:

דוגמה 9. ייצג את החזקה 3 8 כמכפלה של חזקה עם אותם בסיסים.

בבעיה זו צריך ליצור מכפלה של כוחות שהבסיסים שלהם יהיו שווים ל-3, וסכום המעריכים שלהם יהיה שווה ל-8. ניתן להשתמש בכל אינדיקטור. הבה נציג את החזקה 3 8 כמכפלת החזקות 3 5 ו-3 3

בדוגמה זו, הסתמכנו שוב על התכונה הבסיסית של תואר. אחרי הכל, ניתן לכתוב את הביטוי 3 5 × 3 3 כ-3 5 + 3, ומכאן 3 8.

כמובן שניתן היה לייצג את החזקה 3 8 כתוצר של כוחות אחרים. לדוגמה, בצורה 3 7 × 3 1, מכיוון שגם מוצר זה שווה ל-3 8

ייצוג תואר כתוצר של כוחות עם אותם בסיסים היא בעיקר עבודה יצירתית. לכן, אין צורך לפחד להתנסות.

דוגמה 10. שלח תואר איקס 12 בצורה של תוצרים שונים של סמכויות עם בסיסים איקס .

בואו נשתמש בתכונה הבסיסית של תארים. בואו נדמיין איקס 12 בצורה של מוצרים עם בסיסים איקס, וסכום האינדיקטורים הוא 12

מבנים עם סכומי אינדיקטורים נרשמו לשם הבהירות. לרוב אתה יכול לדלג עליהם. אז אתה מקבל פתרון קומפקטי:

העלאת כוחו של מוצר

כדי להעלות מוצר לחזקה, עליך להעלות כל גורם של מוצר זה להספק שצוין ולהכפיל את התוצאות.

לדוגמה, בואו נעלה את המכפלה 2×3 לחזקה השנייה. ניקח את המוצר הזה בסוגריים ונציין 2 כאינדיקטור

כעת נעלה כל גורם מהמכפלה של 2×3 לחזקה השנייה ונכפיל את התוצאות:

עקרון הפעולה של כלל זה מבוסס על הגדרת התואר, שניתנה כבר בהתחלה.

העלאת המוצר 2 × 3 לחזקה השנייה פירושה לחזור על המוצר פעמיים. ואם תחזור על זה פעמיים, תוכל לקבל את הדברים הבאים:

2 × 3 × 2 × 3

סידור מחדש של מקומות הגורמים אינו משנה את המוצר. זה מאפשר לך לקבץ גורמים דומים:

2 × 2 × 3 × 3

ניתן להחליף גורמים חוזרים בערכים קצרים - בסיסים עם אינדיקטורים. ניתן להחליף את המוצר 2 × 2 ב-2 2, ואת המוצר 3 × 3 ניתן להחליף ב-3 2. ואז הביטוי 2 × 2 × 3 × 3 הופך לביטוי 2 2 × 3 2.

לתת אבעבודה מקורית. להעלות מוצר נתון לעוצמה נ, עליך להכפיל את הגורמים בנפרד או בבדרגה שצוינה נ

תכונה זו נכונה לכל מספר גורמים. הביטויים הבאים תקפים גם הם:

דוגמה 2. מצא את הערך של הביטוי (2 × 3 × 4) 2

בדוגמה זו, עליך להעלות את המוצר 2 × 3 × 4 לחזקה השנייה. כדי לעשות זאת, עליך להעלות כל גורם של מוצר זה לחזקה שנייה ולהכפיל את התוצאות:

דוגמה 3. הרם את המוצר לחזקה שלישית a×b×c

הבה נסגור מוצר זה בסוגריים ונציין את המספר 3 כאינדיקטור

דוגמה 4. הרם את המוצר 3 לחזקה שלישית xyz

הבה נסגור מוצר זה בסוגריים ונציין 3 כאינדיקטור

(3xyz) 3

הבה נעלה כל גורם של מוצר זה לחזקה שלישית:

(3xyz) 3 = 3 3 איקס 3 y 3 ז 3

המספר 3 בחזקת שלישית שווה למספר 27. את השאר נשאיר ללא שינוי:

(3xyz) 3 = 3 3 איקס 3 y 3 ז 3 = 27איקס 3 y 3 ז 3

בחלק מהדוגמאות, ניתן להחליף את הכפל של חזקות עם אותם מעריכים במכפלה של בסיסים בעלי אותו מעריך.

לדוגמה, בוא נחשב את הערך של הביטוי 5 2 × 3 2. בואו נעלה כל מספר לחזקה שנייה ונכפיל את התוצאות:

5 2 × 3 2 = 25 × 9 = 225

אבל לא צריך לחשב כל תואר בנפרד. במקום זאת, ניתן להחליף את מכפלת הכוחות הזה במכפלה עם מעריך אחד (5 × 3) 2 . לאחר מכן, חשב את הערך בסוגריים והעלה את התוצאה לחזקה שנייה:

5 2 × 3 2 = (5 × 3) 2 = (15) 2 = 225

במקרה זה, שוב נעשה שימוש בכלל האקספונציה של מוצר. אחרי הכל, אם (a×b)נ = a n × b n , זה a n × b n = (a × b) n. כלומר, הצד השמאלי והימני של השוויון החליפו מקומות.

העלאת תואר לכוח

התייחסנו לטרנספורמציה הזו כדוגמה כאשר ניסינו להבין את המהות של טרנספורמציות זהות של דרגות.

כאשר מעלים כוח לחזקה, הבסיס נותר ללא שינוי, והמעריכים מוכפלים:

(א n)m = a n × m

למשל, הביטוי (2 3) 2 הוא חזקה המורמת לחזקה - שתיים לחזקה שלישית מוגברת לחזקה השנייה. כדי למצוא את הערך של ביטוי זה, ניתן להשאיר את הבסיס ללא שינוי ולהכפיל את המעריכים:

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6

(2 3) 2 = 2 3 × 2 = 2 6 = 64

כלל זה מבוסס על הכללים הקודמים: הגדלה של התוצר והתכונה הבסיסית של התואר.

נחזור לביטוי (2 3) 2. הביטוי בסוגריים 2 3 הוא מכפלה של שלושה גורמים זהים, שכל אחד מהם שווה ל-2. ואז בביטוי (2 3) ניתן להחליף את החזקה 2 בתוך הסוגריים במכפלה 2 × 2 × 2.

(2 × 2 × 2) 2

וזוהי האקספונציה של התוצר שחקרנו קודם לכן. נזכיר שכדי להעלות מוצר לחזקה, עליך להעלות כל גורם של מוצר נתון להספק המצוין ולהכפיל את התוצאות שהתקבלו:

(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2

כעת אנו עוסקים בתכונה הבסיסית של תואר. אנו משאירים את הבסיס ללא שינוי ומוסיפים את האינדיקטורים:

(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6

כמו קודם, קיבלנו 2 6. הערך של תואר זה הוא 64

(2 × 2 × 2) 2 = 2 2 × 2 2 × 2 2 = 2 2 + 2 + 2 = 2 6 = 64

גם מוצר שגורמיו הם גם סמכויות אפשר להעלות לכוח.

לדוגמה, בוא נמצא את הערך של הביטוי (2 2 × 3 2) 3. כאן, יש להכפיל את האינדיקטורים של כל מכפיל במדד הכולל 3. לאחר מכן, מצא את הערך של כל תואר וחשב את המוצר:

(2 2 × 3 2) 3 = 2 2 × 3 × 3 2 × 3 = 2 6 × 3 6 = 64 × 729 = 46656

בערך אותו דבר קורה כאשר מעלים מוצר לעוצמה. אמרנו שכאשר מעלים מוצר לעוצמה, כל גורם של מוצר זה מועלה לעוצמה המצוינת.

לדוגמה, כדי להעלות את המכפלה 2 × 4 לחזקה שלישית, תכתוב את הביטוי הבא:

אבל קודם לכן נאמר שאם ניתן מספר ללא מחוון, אז האינדיקטור חייב להיחשב שווה לאחד. מסתבר שלגורמים של המכפלה 2 × 4 יש בתחילה מעריכים השווים ל-1. זה אומר שהביטוי 2 1 × 4 1 הועלה בחזקת שלישית. וזו העלאת תואר לדרגה.

הבה נשכתב את הפתרון באמצעות הכלל להעלאת כוח לעוצמה. אנחנו אמורים לקבל את אותה תוצאה:

דוגמה 2. מצא את הערך של הביטוי (3 3) 2

אנו משאירים את הבסיס ללא שינוי, ומכפילים את האינדיקטורים:

קיבלנו 3 6. המספר 3 בחזקת השישית הוא המספר 729

דוגמה 3xy)³

דוגמה 4. בצע אקספוננציה בביטוי ( א ב ג)⁵

הבה נעלה כל גורם של המוצר לחזקה חמישית:

דוגמה 5גַרזֶן) 3

הבה נעלה כל גורם של המוצר לחזקה שלישית:

מכיוון שהמספר השלילי −2 הועלה לחזקה שלישית, הוא הוצב בסוגריים.

דוגמה 6. בצע אקספוננציה בביטוי (10 xy) 2

דוגמה 7. בצע אקספוננציה בביטוי (-5 איקס) 3

דוגמה 8. בצע אקספוננציה בביטוי (-3 y) 4

דוגמה 9. בצע אקספוננציה בביטוי (-2 abx)⁴

דוגמה 10. פשט את הביטוי איקס 5×( איקס 2) 3

תוֹאַר איקסנשאיר 5 ללא שינוי לעת עתה, ובביטוי ( איקס 2) 3 אנו מבצעים העלאת כוח לעוצמה:

איקס 5 × (איקס 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6

עכשיו בואו נעשה את הכפל איקס 5 × x 6. לשם כך נשתמש בתכונה הבסיסית של תואר - הבסיס איקסנשאיר את זה ללא שינוי ונחבר את האינדיקטורים:

איקס 5 × (איקס 2) 3 = x 5 × x 2×3 = x 5 × x 6 = איקס 5 + 6 = איקס 11

דוגמה 9. מצא את הערך של הביטוי 4 3 × 2 2 באמצעות התכונה הבסיסית של כוח.

ניתן להשתמש בתכונה הבסיסית של תואר אם הבסיסים של התארים המקוריים זהים. בדוגמה זו, הבסיסים שונים, אז תחילה עליך לשנות מעט את הביטוי המקורי, כלומר, לוודא שבסיסי החזקות יהיו זהים.

בואו נסתכל מקרוב על תואר 4 3. הבסיס של תואר זה הוא המספר 4, שניתן לייצג אותו כ-2 2. אז הביטוי המקורי יקבל את הצורה (2 2) 3 × 2 2. על ידי העלאת העוצמה לעוצמה בביטוי (2 2) 3, נקבל 2 6. אז הביטוי המקורי יקבל את הצורה 2 6 × 2 2, אותה ניתן לחשב באמצעות המאפיין הבסיסי של כוח.

בוא נרשום את הפתרון לדוגמא הזו:

חלוקת תארים

כדי לבצע חלוקת כוחות, אתה צריך למצוא את הערך של כל חזקה, ואז לחלק מספרים רגילים.

לדוגמה, בואו נחלק את 4 3 ב-2 2.

בוא נחשב 4 3, נקבל 64. חשב 2 2, קבל 4. כעת חלקו 64 ב-4, קבל 16

אם, בעת חלוקת החזקה, הבסיסים מתבררים זהים, אז ניתן להשאיר את הבסיס ללא שינוי, ולהפחית את מעריך המחלק מהמעריך של הדיבידנד.

לדוגמה, בוא נמצא את הערך של הביטוי 2 3: 2 2

נשאיר את בסיס 2 ללא שינוי, ונחסיר את המעריך של המחלק מהמעריך של הדיבידנד:

המשמעות היא שהערך של הביטוי 2 3: 2 2 שווה ל-2.

תכונה זו מבוססת על הכפלה של חזקה עם אותם בסיסים, או כפי שהיינו אומרים, התכונה הבסיסית של חזקה.

נחזור לדוגמא הקודמת 2 3: 2 2. כאן הדיבידנד הוא 2 3 והמחלק הוא 2 2.

חלוקה של מספר אחד במספר אחר משמעה מציאת מספר שכאשר מכפילים אותו במחלק, יביא לדיווידנד.

במקרה שלנו, חלוקה של 2 3 ב-2 2 משמעה מציאת חזקה שכאשר מכפילים אותה במחלק 2 2, היא מביאה ל-2 3. איזה כוח אפשר להכפיל ב-2 2 כדי לקבל 2 3? ברור שרק תואר 2 הוא 1. מהמאפיין הבסיסי של התואר יש לנו:

אתה יכול לוודא שהערך של הביטוי 2 3: 2 2 שווה ל-2 1 על ידי חישוב ישיר של הביטוי 2 3: 2 2 עצמו. לשם כך, ראשית נמצא את הערך של החזקה 2 3, נקבל 8. ואז נמצא את הערך של החזקה 2 2, נקבל 4. נחלק 8 ב-4, נקבל 2 או 2 1, שכן 2 = 2 1.

2 3: 2 2 = 8: 4 = 2

לפיכך, כאשר מחלקים סמכויות עם אותם בסיסים, מתקיים השוויון הבא:

ייתכן גם שלא רק הסיבות, אלא גם האינדיקטורים עשויים להיות זהים. במקרה זה, התשובה תהיה אחת.

לדוגמה, בוא נמצא את הערך של הביטוי 2 2: 2 2. בוא נחשב את הערך של כל תואר ונחלק את המספרים המתקבלים:

בעת פתרון דוגמה 2 2: 2 2, ניתן ליישם גם את הכלל של חלוקת חזקות עם אותם בסיסים. התוצאה היא מספר בחזקת אפס, שכן ההפרש בין מעריכי החזקות 2 2 ו- 2 2 שווה לאפס:

גילינו למעלה מדוע המספר 2 בחזקת אפס שווה לאחד. אם מחשבים 2 2: 2 2 בשיטה הרגילה, מבלי להשתמש בכלל חלוקת הכוח, תקבל אחד.

דוגמה 2. מצא את הערך של הביטוי 4 12: 4 10

נשאיר 4 ללא שינוי, ונחסיר את המעריך של המחלק מהמעריך של הדיבידנד:

4 12: 4 10 = 4 12 − 10 = 4 2 = 16

דוגמה 3. הציגו את המנה איקס 3: איקסבצורה של כוח עם בסיס איקס

בואו נשתמש בכלל חלוקת הכוח. בסיס איקסנשאיר אותו ללא שינוי, ונחסיר את המעריך של המחלק מהמעריך של הדיבידנד. מעריך המחלק שווה לאחד. למען הבהירות, בואו נכתוב את זה:

דוגמה 4. הציגו את המנה איקס 3: איקס 2 ככוח עם בסיס איקס

בואו נשתמש בכלל חלוקת הכוח. בסיס איקס

ניתן לכתוב חלוקת כוחות כשבר. אז, ניתן לכתוב את הדוגמה הקודמת כך:

ניתן לכתוב את המונה והמכנה של שבר בצורה מורחבת, כלומר בצורה של מוצרים של גורמים זהים. תוֹאַר איקס 3 ניתן לכתוב כ x × x × x, והתואר איקס 2 איך x × x. ואז העיצוב איקסניתן לדלג על 3 − 2 ולהקטין את השבר. ניתן יהיה להפחית שני גורמים במונה ובמכנה איקס. כתוצאה מכך, יישאר מכפיל אחד איקס

או אפילו יותר קצר:

זה גם שימושי להיות מסוגל להפחית במהירות שברים המורכבים מעצמות. לדוגמה, ניתן להקטין שבר ב- איקס 2. כדי לצמצם חלק ב איקס 2 אתה צריך לחלק את המונה והמכנה של השבר ב איקס 2

אין צורך לתאר בפירוט את חלוקת התארים. ניתן לעשות את הקיצור לעיל קצר יותר: